Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение   называется уравнением с разделяющимися (отделяющимися) переменными, если его правая часть представима в виде  . Тогда, в случае  , общим решением уравнения является  .

Однородные уравнения

Основная статья: Однородное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение   называется однородным, если   — однородная функция нулевой степени. Функция   называется однородной степени  , если для любого   выполняется равенство  .

Замена   приводит при   однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными:

Подставив в исходное уравнение, получаем:

,

что является уравнением с разделяющимися переменными.

Линейные уравнения

Основная статья: Линейное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение   называется линейным и может быть решено двумя методами: методом интегрирующего множителя или методом вариации постоянной.

Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)

Основная статья: Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения)

Рассмотрим однородное уравнение  . Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, его решение:

Решения исходного уравнения будем искать в виде:

Подставив полученное решение в исходное уравнение:

,

получаем:

,

где   — произвольная константа.

Таким образом, решение исходного уравнения можно получить путем подстановки   в решение однородного уравнения:

Уравнение Бернулли

Основная статья: Дифференциальное уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение   называется уравнением Бернулли (при   или   получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). 

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Решение дифференциального уравнения - это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0 (в некоторых случаях функцию y можно выразить через аргумент x явно), которая обращает дифференциальное уравнение в тождество. Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения. Общее решение дифференциального уравнения еще называют общим интегралом дифференциального уравнения

9) Дифференциальные уравнения первого порядка

Решение некоторых типов ОДУ первого порядка.

14.3.1. Уравнения с разделяющимися переменными.

14.3.1.1. Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида удовлетворяющее начальному условию

f(x) dx + g(y) dy = 0.

(10)

Пусть y(x) - решение этого уравнения, т.е. f(x)dx + g(y(x))dy(x) = 0. Интегрируя это тождество, получим   - общий интеграл (общее решение) этого уравнения.  Пример: решить задачу Коши   Исходное уравнение - с разделёнными переменными, интегрируя его, получим  . Соотношение (x-1)² + y³ = C - общее решение (общий интеграл) уравнения; для того, чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию, надо подставить в общее решения данные значения x₀ и y₀, и найти значение постоянной C на этом решении: (2-1)² + 1³ = 2   C = 2. Таким образом, решение поставленной задачи: (x-1)² + y³ = 2.  14.3.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида

или	(11)
f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0	(12)

Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:

Записываем уравнение (11) в форме  , затем делим на g(y) и умножаем на dx:  .		Уравнение (12) делим на f2(x) g1(y):  .
Эти уравнения - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общие интегралы:
.		.
В обоих случаях возможна потеря решений: деление на функцию может привести к уравнению, которое неэквивалентно данному.
Если функция g(y) имеет действительные корниy1, y2, y3, …, то функции y = y1, y = y2, y = y3, …, очевидно, являются решениями исходного уравнения.		Если функция f2(x) имеет действительные корни x1,x2, x3, …, функция g1(y) имеет действительные корни y1, y2, y3, …, то функции x = x1, x = x2, x =x3, …, y = y1, y = y2, y = y3, … являются решениями исходного уравнения.
В обоих случаях эти решения могут содержаться в общем решении, но могут и не содержаться в нём; последнее может случиться, если на этих решениях нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

К уравнениям с разделяющимися переменными сводятся уравнения вида   (  - постоянные). Если перейти к новой неизвестной функции z = ax + by + c, то  , и уравнение представляется как  . Это - уравнение с разделяющимися переменными. 

14.3.2. Уравнения с однородной правой частью. Так называются уравнения со специальным видом зависимости функции f(x, y) от своих аргументов:

.

(13)

Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u(x) заменой  , или  . Подставляя в (13) y = u,  , получим   (это - уравнение с разделяющимися переменными),   - это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u.  Как "узнать в лицо" уравнение с однородной правой частью? Введём определение. Функция f(x, y) называется однородной функцией своих аргументов степени m, если для любого tвыполняется тождество f(tx,ty) = t^m f(x, y). Так, x³ – 3xy² + 4y³ - однородная функция степени 3, ln x – ln y- однородная функция нулевой степени. Если M(x, y), N(x, y) - однородные функции одной степени, то уравнение M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0 может быть приведено к виду  .  14.3.3. Линейные уравнения. ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y(x) и её производная   входят в уравнение в первой степени:

.

(14)

Здесь p(x), q(x) - непрерывные функции.  Для решения уравнения (14) представим y(x) в виде произведения двух новых неизвестных функций u(x) и v(x): y(x) = u(x) v(x). Тогда  , и уравнение приводится к виду  , или  . Это уравнение решаем в два этапа: сначала находим функцию v(x) как частное решение уравнения с разделяющимися переменными  ; затем находим u(x) из уравнения  . Итак,   (мы не вводим в это решение произвольную постоянную C, нам достаточно найти одну функцию v(x), обнуляющую слагаемое со скобками в уравнении  ). Теперь уравнение для u(x)запишется как    . Общее решение уравнения (14):  .  Запоминать эту формулу не надо, лучше усвоить порядок действий и воспроизводить его при решении каждой задачи.  Этот метод решения линейных уравнений часто реализуется по-другому - в форме вариации произвольной постоянной. Уравнение (14) называется однородным, если q(x) = 0. Пусть дано неоднородное уравнение (14)  . Оно, как и в предыдущем случае, решается в два этапа. Обнулим правую часть, получившееся уравнение будем называть однородным уравнением, соответствующим уравнению (14):  . Решаем это уравнение:   (при делении на y теряется решение y (x) = 0, но оно входит в общее решение при C = 0). Теперь ищем общее решение уравнения (14) в виде  , где  - новая неизвестная функция; находим производную   и подставляем в (14) y и  :  , или  , где  . Теперь  .  Понятно, что обе реализации решения имеют один смысл (решение однородного уравнения играет роль функции v(x), варьируемая постоянная C(x) - роль функции u(x)).  Отметим ещё одно важное обстоятельство. Переменные x и y, входящие в уравнение, равноправны, поэтому при определении типа уравнения надо иметь в виду, что может оказаться предпочтительней искать решение в виде x = x(y), а не в виде y = y(x). 

14.3.4. Уравнение Бернулли. Так называется уравнение

.

(15)

где   (при m = 0 уравнение линейно, при m = 1 - с разделяющимися переменными). Это уравнение решается одним из следующих способов:  1. Уравнение Бернулли сводится к линейному подстановкой z = y^1-m (при m>1 может быть потеряно решение y = 0). Действительно,  ,  ; после деления уравнения (15) на y^m получим  , или   - линейное уравнение.  Пример:   (уравнение Бернулли, m = 2). Подстановка  . Решаем полученное линейное уравнение:      .  2. Можно сразу решать уравнение Бернулли методом, которым решаются линейные уравнения, т.е. заменой y(x) = u(x) v(x):    из этого выражения находим u(x), и y(x) = u(x) v(x).  14.3.5. Уравнение в полных дифференциалах. Так называется уравнение вида

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.

(P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что  . Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие  . Если (16) - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна  , т.е. (16) принимает вид du(x, y) = 0. На решении y(x) получим du(x, y(x)) = 0, следовательно, u(x, y(x)) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение u(x, y) =C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.  Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений   Из первого уравнения этой системы находим   с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции   (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x); затем из второго уравнения определяется  .  14.3.6. Особые точки и особые решения уравнения первого порядка. Если в окрестности точки (x₀, y₀) плоскости для уравнения   выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши (непрерывность f(x, y) и  ), то через эту точку проходит единственная интегральная кривая. Если эти условия нарушаются, точку (x₀, y₀) называютособой точкой дифференциального уравнения. Через особую точку может не проходить ни одной интегральной кривой (т.е. задача  , y(x₀) =y₀ не имеет решения); может проходить одна интегральная кривая; может проходить несколько интегральных кривых. Особые точки могут образовать кривую, которая сама является интегральной кривой уравнения. Решение уравнения, в каждой точке которого нарушается его единственность, называютособым решением. Несколько таких функций приведено на рисунке справа вверху вместе с решением y = 0. В любой точке (x, 0) нарушается единственность решения, таким образом, решение y = 0 - особое. На самом деле через любую точку (x, 0)проходит бесконечное количество интегральных кривых, так как любая кривая, составленная из частей особого и неособых решений (одна такая кривая выделена красным пунктиром), также является интегральной кривой.

10)  Основные понятия. Напомним определения раздела 14.1 обыкновенного дифференциального уравнения, его порядка, общего и частного решений:  Опр. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов): .  Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).  Опр. Частным решением уравнения на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция  , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.  Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения называется такое соотношение  , что:  1. Любое решение   этого соотношения относительно y (для набора постоянных C₁, C₂, …, C_n из некоторой области n-мерного пространства) является частным решением уравнения ;  2. Любое частное решение уравнения может быть получено из общего решения   при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n.  Основную теорему - теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка -мы сформулируем для записи уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной:  .  14.4.1. Постановка задачи Коши для уравнения n-го порядка: требуется найти решение уравнения

;

(17)

удовлетворяющее начальным условиям

(18)

где y₀, y₁, y₂, …, y_n-1 - заданные числа.  В случае уравнения второго порядка это означает, что требуется найти решение, проходящее через заданную точку (x₀, y₀,) с заданным угловым коэффициентом y₁.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши: Пусть функция f(x, y, p₁, p₂, …, p_n-1) непрерывна и имеет непрерывные частные производные   в некоторой области D n + 1-мерного евклидового пространства переменных (x, y, p₁, p₂, …, p_n-1), и пусть точка (x₀, y₀, y₁, y₂, …, y_n-1) принадлежит области D. Тогда в некоторой окрестности точки x₀ существует решение уравнения (17), удовлетворяющее начальным условиям (18). Это решение единственно.

• Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.  14.4.2.1. Уравнение вида   решается последовательным n-кратным интегрированием.   Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде y = cos x + C₁x³ + C₂x² + C₃x + C₄.  14.4.2.2. Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные. Порядок уравнения вида F(x, y^(k), y^(k+1), y^(k+2), …,y⁽ⁿ⁾) = 0, не содержащего функции y(x) и k - 1 младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции z(x) = y^(k)(x). Тогда   z^(n-k) = y⁽ⁿ⁾(x), и относительно z(x) уравнение примет вид  , т.е. будет уравнением n - k-го порядка. После нахождения z(x)последовательным интегрированием решается уравнение y^(k) = z(x). 

• 11) Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения решений линейного однородного дифференциального уравнения. В этом разделе мы докажем, что базисом линейного пространства частных решений однородного уравнения может служить любой набор из n его линейно независимых решений.  Опр. 14.5.5.1. фундаментальной системы решений. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называется любая линейно независимая система y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) его n частных решений.  Теорема 14.5.5.1.1 о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:  y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x).  Док-во. Пусть y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение y_чо(x)этого уравнения содержится в формуле y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n. Возьмём любую точку  , вычислим в этой точке числа   и найдём постоянные C₁, C₂, …, C_n как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений   Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен  . Рассмотрим линейную комбинацию y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C₁, C₂, …, C_n и сравним её с функцией y_чо(x). Функции y(x) и y_чо(x) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x₀, следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: y_чо(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + … + C_n y_n(x). Теорема доказана.  Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n. Осталось доказать, что эта размерность не меньше n.  Теорема 14.5.5.1.2 о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального равнения. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.