
- •3. Интегрирование рациональных дробей.
- •5. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •6. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)
- •Уравнение Бернулли
- •9) Дифференциальные уравнения первого порядка
- •14.3.1. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общая теория.
- •15.Функциональный ряд Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .Функциональный ряд
- •Степенные ряды
- •Степенные ряды
- •14. Знакочередующийся ряд
- •12.Неоднородное линейное ду.
1.
Определение. Функция
называется первообразной функции
,
если
.
Теорема. Если
и
две
первообразные одной и той же функции
,
то они отличаются не более, чем
на константу, то есть
.
Следствие. Если
- одна
из первообразных функции
,
то любая другая первообразная имеет
вид
.
Определение. Совокупность
всех первообразных
функции
называется неопределенным
интегралом от
и
обозначается
.
называется подынтегральной функцией, а
- подынтегральным
выражением.
Таким образом, окончательно
.
Свойства неопределенного интеграла.
1.
;
2.
;
3.
;
4.
.
2. Методы интегрирования
Функция F(x), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f(x), или интегралом от f(x), если для всякого x ∈X справедливо равенство:
F' (x) = f(x). (8.1)
Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f(x) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f(x); обозначение -
∫ f(x) dx.
Если F(x) - какая-нибудь первобразная для функции f(x), то
∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)
где С - произвольная постоянная.
Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла и список табличных интегралов:
1) d ∫ f(x)=f(x)dx,
2) ∫df(x)=f(x)+C,
3) ∫af(x)dx=a ∫f(x)dx (a=const),
4) ∫(f(x)+g(x))dx= ∫f(x)dx+ ∫g(x)dx.
Список табличных интегралов
1. ∫x dx = x+1/( + 1) +C; ( ≠ -1).
2.
= ln x +C.
3. ∫ ax dx = ax/ln a + C (a>0, a ≠1).
4. ∫ex dx = ex + C.
5. ∫sin x dx = cos x + C.
6. ∫cos x dx = - sin x + C.
7.
= arctg x
+ C.
8.
= arcsin x
+ C.
9.
= tg x
+ C.
10.
=
- ctg x
+ C.
Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.
Если функция f(z) непрерывна на [, ], функция z =g (x) имеет на [a,b] непрерывную производную и α ≤ g(x) ≤ β, то
∫ f(g(x)) g' (x) dx = ∫f(z) dz, (8.3)
причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g(x).
Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:
∫ f(g(x)) g (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).
Например:
1)
;
2)
.
Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцирования произведения,
d(uv)= udv + vdu или udv = d(uv) -vdu.
Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:
∫ udv = uv - ∫ vdu. (8.4)
Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выражения vdu=vu'dx.
Пусть, например, требуется найти x cosx dx. Положим u = x, dv = cos x dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда
∫ x cos x dx = ∫ x d(sin x) = x sin x - ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C.
Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,
∫ xk lnmx dx, ∫xk sin bx dx, ∫ xk cos bx dx, ∫xk e ax dx
и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.
Понятие
определенного интеграла вводится
следующим образом. Пусть на отрезке
[a, b] определена функция f(x). Разобьем
отрезок [a,b] на n частей
точками a = x0 <
x1 <...<xn = b.
Из каждого интервала (xi-1, xi)
возьмем произвольную точку i и
составим сумму
f(i)Δ xi, где
Δxi = xi - xi1.
Сумма вида
f(i)Δ xi называется интегральной
суммой,
а ее предел при λ = max Δxi→ 0,
если он существует и конечен,
называется определенным
интегралом функции f(x)
от a до b и
обозначается:
f(i)Δ xi.
(8.5)
Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке [a, b], числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла.
Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:
1)
;
2)
;
3)
-
;
4)
,
(k = const, k∈R);
5)
;
6)
;
7) f(ξ)(b-a) (ξ∈a,b]).
Последнее свойство называется теоремой о среднем значении.
Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл
∫f(x) dx = F(x) + C
и имеет место формула Ньютона-Лейбница, cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:
F(b) - F(a). (8.6)
Геометрическая
интерпретация: определенный
интеграл
представляет
собой площадь криволинейной трапеции,
ограниченной сверху кривой y= f(x),
прямыми x = a и x = b и
отрезком оси Ox.
Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:
.
(8.7)
Если
этот предел существует и конечен,
то
называется сходящимся
несобственным интегралом от f(x) на
интервале [а,+
∞), а функцию f(x) называют интегрируемой
на бесконечном промежутке [а,+
∞). В противном случае про интеграл
говорят,
что он не
существует, или расходится.
Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах (- ∞, b] и (- ∞, + ∞):
.
Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка [a,b], кроме точки с, вкоторой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:
,
если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:
=
.
(8.8)
Таблица основных интегралов
Замена переменных.
Пусть
надо вычислить
.
Сделаем замену
переменных
,
так что
.
Пусть нам каким-то образом удалось
вычислить
.
Тогда имеет место формула
.
Интегрирование по частям.
Пусть
и
- две
функции. Тогда имеет место формула
.
Заменой переменной неопределенного интеграла.
При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.
ТЕОРЕМА.
Пусть функция φ(t) имеет непрерывную
производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β)
и функция f(х) непрерывна в каждой точке
х вида х=φ(t), где t
[α,β].
Тогда справедливо следующее равенство:
Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.
Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в).
3. Интегрирование рациональных дробей.
Теорема 6. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.
Доказательство.
Представим
рациональную дробь
в
виде:
.
При этом последнее слагаемое является
правильной дробью, и по теореме 5 ее
можно представить в виде линейной
комбинации простейших дробей. Таким
образом, интегрирование рациональной
дроби сводится к интегрированию
многочлена S(x) и
простейших дробей, первообразные
которых, как было показано, имеют вид,
указанный в теореме.
Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.
Интегрирование рациональных функций |
|
Для
интегрирования рациональной функции
Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочленP(x) на Q(x). Получим следующее выражение:
где - правильная рациональная дробь. Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде
где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней. Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей. Запишем рациональную функцию в следующем виде:
Общее число неопределенных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x). Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов. Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей. Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:
У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:
где Интеграл |
4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций |
В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение. 1.
Интегралы вида Для решения данных интегралов применяются формулы преобразования произведения тригонометрические функций в сумму или разность: 2.
Интегралы вида Здесь и везде ниже предполагается, что m и n - натуральные числа. Для вычисления таких интегралов используются следующие подстановки и преобразования:
чтобы понизить синуса или косинуса в подынтегральном выражении. Затем, если необходимо, применяются правила a) или b). 3.
Интегралы вида Степень
подынтегрального выражения в данном
интеграле можно понизить с помошью
тригонометрического соотношения
4.
Интегралы вида Здесь
степень подынтегрального выражения
понижается с помошью соотношения
5.
Интегралы вида Данный тип интеграла упрощается с помощью следующей формулы редукции:
6.
Интегралы вида Аналогично предыдущим пунктам, интеграл упрощается с помощью формулы
7.
Интегралы вида
8.
Интегралы вида
|