Лабораторная работа №10 Геометрические приложения определенного интеграла. Длина дуги кривой.
Если
гладкая кривая задана уравнением
,
то длина ее дуги равна
,
где
и
– абсциссы концов.
Если
же кривая задана параметрическими
уравнениями
то
Аналогично
выражается длина дуги пространственной
кривой, заданной параметрическими
уравнениями
Если
задано полярное уравнение гладкой
кривой
то
Пример
I.
Найти длину дуги полукубической параболы
от начала координат до точки (4;8).
Решение:
имеем
3/2,
Пример 2. Найти длину астроиды .
Решение:
имеем
откуда
.
Пример
3. Найти длину
кардиоиды
>0.
Решение:
имеем
откуда .
ВАРИАНТЫ
Найти длины дуг следующих кривых:
В-1
1)
между прямыми
и
2)
одной арки циклоиды
3)
кардиоиды
В-2
1)
от y
= 1 до y
= 2
2)
от
до
(а
> 0)
3)
В-3
1)
между точками пересечения с осью
2)
развертки окружности
от t
= 0 до t
= T
3)
гиперболической спирали
от точки А(2;
)
до точки В(
)
В-4
1)
между точками А(2;1), В(5;-8)
2)
от t
= 0 до t
= 1
3)
длину первых двух витков Архимеда
В-5
1)
находящуюся
между у = 0 и у =
2)
3)
В-6
1)
от х = 0 до х = 1
2)
петли
3)
логарифмической спирали
от
до
В-7
1)
между точками пересечения с осью
2)
между точками пересечения ее с осями
координат
3)
(
>
0)
В-8
1)
до
2)
от t
= 0 до t
=
3)
В-9
2)
3)
В-10
2)
3)
В-11
2)
3)
В-12
от
до
2)
3)
В-13
от
до
В-14
от
точки
до точки
В-15
от
вершины до точки
3)
В-16
от начала координат до точки
длину одного витка спирали Архимеда
В-17
от
до
2)
3)
В-18
между
точками
и
между
точками пересечения с осями ОХ и ОУ
В-19
2)
3)
В-20
2)
3)
В-21
2)
3)
В-22
2)
3)
В-23
2)
3)
В-24
2)
3)
В-25
2)
3)
Вопросы к лабораторной работе №10
Какая кривая называется спрямляемой? Что называется длиной дуги?
Всякая ли ограниченная кривая имеет конечную длину? Приведите пример.
Сформулируйте необходимое и достаточное условие спрямляемости плоской жордановой кривой.
Как вычисляется длина дуги в декартовых и полярных координатах?
Литература:
Зорич В.А. Математический анализ, ч.I – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981
Ильин В.А., Позняк З.Г. Основы математического анализа, ч.I – М.: Наука, 1971
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.I, II, III. – М.: Наука, 1969
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.I. – М.: Высшая школа, 1981
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1986. В двух частях. Ч.I.
Берман Н.Г. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие для вузов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985
Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. – Минск: Вышейшая школа, 1969
Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1964
Куницкая Е.С., Рывкин А.З., Смолянский М.Л. Задачник – практикум по математическому анализу. Ч.II Интегральное исчисление функций одной переменной. М.: Просвещение, 1968
Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. 3-е изд. М.: Айрис-пресс, 2003