Лабораторная работа №9. Геометрические приложения определенного интеграла . Площадь плоской фигуры.

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции = , ( 0), двумя прямыми = , = и осью OX , или площадь криво-линейной трапеции, ограниченной дугой графика функции = , в (рис.1), вычисляется по формуле :

(1)

рис 1.

Площадь фигуры , ограниченной графиками непрерывных функции и и двумя прямыми = , = (рис.2), определяется по формуле :

(2)

рис. 2

Пример1. Найти площадь фигуры, лежащей в правой полуплоскости и ограниченной окружностью и параболой

Решение:

найдем точки пересечения кривых ( рис.3), решив систему уравнений :

рис. 3

Используя симметрию относительно оси OX , найдем искомую площадь как удвоенную сумму площадей криволинейных трапеций ,ограниченных соответственно дугами параболы , 0x2 и окружностью.

S=

=

Иногда удобно использовать формулы , аналогичные (1) и (2) , но по переменной (считая x функцией от ), в частности

(3)

Если фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения = , = , прямыми = , = и осью OX, то площадь вычисляется по формуле :

(4),

где пределы интегрирование находятся из уравнений на отрезке .

Формула (4) применима также для вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой ( изменения параметра t от до должно соответствовать обходу контура по часовой стрелке).

Пример2. Найти площадь петли кривой

Решение: Найдем точки пересечения кривой с координатами осями. Имеем : x=0 при t= ; y=0 при t=0, t= .Следовательно, получаем следующие точки:

при t=1; при t=-1;

при t=0; при t= .

Точка является точкой самопересечения кривой. При

При (рис.4).

График функции ; , при

Площадь фигуры находим как удвоенную площадь верхней ее половины:

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции и двумя лучами где - полярные координаты, или площадь криволинейного сектора , ограниченного дугой графика функции , , вычисляется по формуле:

(5).

Пример 3. Найти площадь лунки , ограниченной дугами окружностей Окружности пересекаются при ; рассматриваемая фигура ( рис.5) симметрична относительно луча .

График функции ; , при

Следовательно, ее площадь можно вычислять так:

ВАРИАНТЫ

Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

В-1.

1. 

2. и ее асимптотой.

3. Кардиоидой .

4. .

В-5.

1. 

2. и касательные к ней , проведенные через токи

3. одной аркой циклиды

4. 

В-3.

1. 

2. касательной к ней в точке и осью OX.

3. Астроидой

4. ( Бернулли ) .

В-4.

1. 

2. , касательной к ней в точке x=e и осью OX.

3. Петли линии .

4. ( улитка Паскаля )

В-5.

1. 

2. , касательной к ней в точке .

3. Одной арки циклоиды и OX.

4. .

В-6.

1. 

2. касательной к ней в точке и x=1.

3. Петли линии

4. (кардиоида)

В-7.

1. 

2. касательной к ней в точке M к осью ординат.

3. Петли кривой

4. ( лепестковая роза).

В-8.

1. Параболой и гиперболой

2. 

3. 

4. (в не круга )

В-9

1. 

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и касательными к этому графику, проведенными через точку .

3. 

4. 

В-10

1. 

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и касательными к этому графику, проведенными через точку .

3. 

4. 

В-11

1. 

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций , и осью ординат.

3. 

4. 

В-12

1. 

2)

3)

4)

В-13

1. 

2. 

3. 

4. 

В-14

1. 

2. 

3. 

4. 

В-15

1. 

2. 

3. 

4. 

В-16

1. 

2. 

3. 

4. 

В-17

1)

2. 

3. 

4. 

В-18

1)

2. 

3. 

4. 

В-19

1. 

2. 

3. 

4. 

В-20

1. 

2. 

3. 

4. площадь, ограниченную кардиоидой и окружностью .

В-21

1. 

2. 

3. 

4. 

В-22

1. 

2. 

3. одной петлей кривой

4) (общая область)

В-23

1. 

2. 

3. 

4. 

В-24

1. 

2. 

3. 

4. 

В-25

1. 

2. Вычислить площадь, ограниченную параболой и осью абсцисс.

3. 

4. 

Вопросы к лабораторной работе №9:

1. Какая фигура называется квадрируемой? Какие вы знаете условия квадрируемости?

2. Какими свойствами обладает квадрируемая фигура?

3. Как вычисляется площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми и непрерывными кривыми и , при условии, что для ?