13.5 Переходный процесс в цепи r, c

Положим, что в момент t=0 цепь , состоящая из сопротивления г и емкости C, включенных последовательно, присоединяется к источнику ЭДС e(t) (рис.13.6)

Рис. 13.6. Включение цепи r, C

На основании второго закона Кирхгофа уравнение для времени имеет вид: ,

где U_C - напряжение на емкости.

С учетом того, что получаем: , здесь искомой величиной является напряжение на емкости.

Характеристическое уравнение имеет вид и соответственно корень уравнения .

Следовательно, свободная слагающая напряжения на емкости

Где – постоянная времени контура r, C (измеряется в секундах: ).

Переходное напряжение на емкости равно сумме принужденного и свободного напряжения:

В свою очередь ток в

Рассмотрим три случая:

1. включение в цепь г, С постоянной ЭДС Е;

2. короткое замыкание цепи г, С;

3. включение в цепь г, С гармонической ЭДС,

1.Включение в цепь r, C постоянной ЭДС.

Включим постоянную ЭДС Е в цепь с сопротивлением и предварительно заряженной емкостью С (полярность заряженной емкости указана на рис.13-6 знаками «+» и «-»); начальное напряжение на емкости обозначим для простоты через U.

Принужденное напряжение на емкости равно ЭДС источника. Поэтому согласно (13.12)

.

Постоянная интегрирования А, входящая в (13-14), находится по начальному условию:

при t=0 имеет U=E+A, откуда A=U-E

Следовательно, .

Согласно (13.13) ток в контуре

.

Если то с течением времени напряжение на емкости возрастает, стремясь к установившемуся значению Е, а ток убывает, стремясь в пределе к нулю; на рис. 13.7,а изображены кривые нарастания и спада i. Чем больше постоянная времени, тем медленнее происходят нарастание и спад i.

а)

б)

Рис. 13.7 Ток и напряжение при включении в цепь r, C постоянной ЭДС

Если E<U, то кривые и i имеют вид, показанный на рис. 13.7,б.

Постоянная времени может быть найдена также, как и раньше, графически как подкасательная к кривой i в любой точке (например, при t=0).

Закон изменения напряжения на емкости и тока в данной цепи аналогичен закону изменения тока и напряжения в контуре r, L, рассмотренном выше. Поэтому все сказанное о постоянном времени в предыдущем случае сохраняет силу для данного случая.

2. Короткое замыкание цепи r, С.

Замыкание накоротко цепи, состоящей из последовательно соединенных г и C, равносильно принятию в предыдущем случае ЭДС, равной нулю. Предполагается ,что емкость С заряжена, т.е. в момент включения на ее зажимах имеется напряжение U.

Положив в (13.15) и (13.16) ЭДС Е равной нулю, получим:

Где

При коротком замыкании цепи г, С электрический ток идет от зажима "+" к зажму ”-”. Следовательно при выбранной на рис.13-6 полярности емкости ток проходит через сопротивление г в направлении, противоположном тому, которое принято на рис.13-6 за положительное. Поэтому в выражении для тока стоит знак «-». На рис. 13-8 изображены кривые спада и i.

Рис.13.8 Ток и напряжение при коротком замыкании цепи г, С

В отличие от напряжения на емкости, которая изменяется непрерывно, ток в контуре г, С, пропорциональный скорости изменения , совершает при t=0 скачок.

Энергия, рассеиваемая сопротивлением r в течение всего переходного процесса, равна энергии, запасенной в электрическом поле до коммутации:

Также как и для цепи r, L переходный процесс может считаться законченным спустя так как к этому времени емкость разрядится на 98,2-99,3% и напряжение на емкости снизится до 1,8-0,7% первоначального значения (см.§13.4,случай I).

3. Включение в цепь r, С гармонической ЭДС.

При включении в цепь r, С гармонической ЭДС принужденное напряжение на емкости будет:

где

На основании (13.12)

Если предполагать, что конденсатор не был заряженным, то постоянная интегрирования определяется по начальному условию

откуда

Тогда искомое напряжение на емкости будет:

а ток в цепи

Из написанных выражений видно, что если включение цепи r, C происходит в момент когда принужденный ток должен достигать максимума - положительного или отрицательного (т.е. ), а принужденное напряжение на емкости должно быть равно нулю, то свободная слагающая напряжения на емкости не возникает и в цепи сразу без переходного процесса наступает принужденный установившийся режим.

Так как цепь r, C по протеканию переходной: процесса подобна цепи r, L, то при соответствующем подборе параметров r и C она также может служить дифференцирующим или интегрирующим звеном.