6. Поняття методу послідовного покращення плану або симплексного методу (см). Основні етапи. Побудова початкового опорного плану.

Рассматривалось рациональное использование идеи о переборе угловых точек: если известны какая-нибудь угловая точка (опорный план) и значение целевой функции в ней, то все угловые точки, в которых целевая функция принимает худшие, т.е. большие значения (рассматриваем ЗЛП на минимум целевой функции), заведомо не нужны. Поэтому естественно найти способ перехода от одной угловой точки (опорного плана) к лучшей, от не – к еще лучшей и т.д. В этом и заключается суть симплексного метода (СМ). Таким образом, можно ввести следующее его понятие. СМ – это вычислительная схема, позволяющая при наличии начального опорного плана направленно перебирать опорные планы до тех пор, пока не будет найден оптимальный план или установлено, что ЗЛП не имеет решения.

Существует 4 этапа процедуры СМ: 1) построение начального опорного плана; 2) оценка оптимальности плана; 3) оценка разрешимости ЗЛП; 4) переход от одного опорного плана к лучшему.

Построение начального опорного плана. СМ применим для решения ЗЛП, заданных в каноническом виде. При этом будем рассматривать реализацию алгоритма СМ на ∂ВМ, когда среди соответствующих векторов имеются ортонормированный базис или он построен искусственным образом (М-метод). Итак, рассмотрим ЗЛП, у которой среди соответствующих векторов имеется ортонормированный базис.

Опишем построение начального опорного плана. Пусть ортонормированный базис образует первые m векторов. Тогда ЗЛП имеет вид:

Выпишем соответствующие векторы: ; ; …; ; ; …; .

Переменные, соответствующие векторам, образующим ортонормированный базис, называются базисными. Переменные, соответствующие векторам, не вошедшим в базис, наз. свободными. Если векторы образуют базис, то переменные – базисные, а переменные – свободные. По определению невырожденного опорного плана, базисные переменные должны быть положительными, а свободные – нулевыми. Приравняем в основной системе ограничений переменные к нулю, тогда базисные переменные примут значения Таким образом, получен начальный опорный план:

7. Оцінка оптимальності опорного плану в см (теореми оптимальності і не оптимальності опорного плану). Ознака необмеженості цільової функції.

Числа называются оценками векторов или оценками плана.

Нетрудно показать, что оценки базисных векторов равны нулю. Действительно, пусть входит в базис, т.е. Тогда для него разложение приобретает вид: . И соответственно:

Теорема (признак неоптимальности невырожденных опорных планов): если для некоторого опорного невырожденного плана существует вектор с положительной оценкой , то не является оптимальным планом, т.е. можно построить план , e – я компонента которого больше нуля и для которого

Теорема (достаточный признак оптимальности опорных невырожденных планов): если для некоторого опорного плана оценки всех векторов неположительны ( ), то - оптимальный план.

Данная теорема справедлива и для вырожденных планов. Если же - невырожденный опорный план, то достаточный признак оптимальности является и необходимым.

Признак неограниченности целевой функции: если для некоторого опорного плана существует вектор , оценка которого положительна и все коэффициенты его разложения по базису неположительны, то целевая функция неограниченна снизу, ЗЛП решения не имеет.