
- •Тема 8. Коды Боуза–Чоудхури–Хоквингема и Рида-Соломона.
- •8.1. Расширенные конечные поля.
- •8.2. Мультипликативный порядок элементов поля. Примитивные элементы.
- •8.3. Некоторые свойства расширенных конечных полей.
- •8.4. Корни многочленов над конечными полями. Построение многочленов на основе заданных корней.
- •8.5. Спектральное описание циклических кодов.
- •8.6. Двоичные бчх–коды.
- •8.7. Понятие об алгебраическом декодировании бчх–кодов.
- •8.8. Коды Рида–Соломона.
- •8.9. Исправление пакетов ошибок
- •8.9.1. Каналы с памятью и пакеты ошибок.
- •8.9.2. Коды, исправляющие пакеты ошибок.
- •8.9.3. Перемежение.
- •8.10. Заключение (Примеры практического использования).
8.3. Некоторые свойства расширенных конечных полей.
В данном параграфе рассмотрены некоторые положения, необходимые в дальнейшем для построения порождающих полиномов с хорошими корректирующими свойствами.
Теорема 8.3.1.Среди всех элементов
расширенного полятолько для элементов основного подполя
,
т.е. для 0 и 1, выполняется соотношение
.
Доказательство: Справедливость
указанного соотношения для нулевого
элемента поля очевидна. Среди всех
ненулевых элементов поля мультипликативный порядок, равный
единице, имеет лишь 1, что и завершает
доказательство теоремы.
Таблица 8.3.
0= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3= |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
5= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
|
|
|
6= |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ |
2 |
|
|
|
|
7= |
4 |
+ |
3 |
|
|
|
|
= |
3 |
|
|
|
|
+ |
1 |
8= |
4 |
|
|
|
2 |
+ |
|
= |
|
|
2 |
|
|
+ |
1 |
9= |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
+ |
|
|
|
10= |
4 |
|
|
+ |
2 |
|
|
= |
|
|
2 |
+ |
|
+ |
1 |
11= |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ |
2 |
+ |
|
|
|
12= |
4 |
+ |
3 |
+ |
2 |
|
|
= |
3 |
+ |
2 |
+ |
|
+ |
1 |
13= |
4 |
+ |
3 |
+ |
2 |
+ |
|
= |
3 |
+ |
2 |
|
|
+ |
1 |
14= |
4 |
+ |
3 |
|
|
+ |
|
= |
3 |
|
|
|
|
+ |
1 |
15= |
4 |
|
|
|
|
+ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
Теорема 8.3.2.Пусть– конечной поле характеристики
.
Тогда для любых элементов
,
,
выполняется соотношение
.
Доказательство:Поскольку полеимеет характеристику, равную 2, то
сомножитель
в разложении бинома обращается в нуль.
Следовательно
.
Данная теорема может быть обобщена на
случай любого натурального
и произвольного числа
элементов
:
.
Познакомимся теперь с еще одним важным определением.
Пусть
.
Тогда элементы поля
вида
называются 2 – сопряженнымис
элементом.
Как будет показано далее, роль данных
элементов в структуре конечных полей
в значительной степени аналогична
комплексно сопряженным элементам
обычной алгебры. Вследствие конечности
поля
последовательность, составленная из
и 2 – сопряженных с ним элементов, имеет
ограниченный набор отличающихся друг
от друга элементов. Так, если все элементы
вида
различны, а продолжение последовательности приводит к повторению какого-либо уже содержащегося в ней элемента, то
.
Можно доказать, что длина
любой последовательности (цикла)
2–сопряженных элементов поля
всегда делит степень расширения
.
Следует отметить, что приведенные выше
результаты могут быть обобщены на случай
расширения любого недвоичного основного
поля
.