11.2 Сложение дисперсий изучаемого признака
В статистическом исследовании часто бывает необходимо не только изучить вариации признака по всей совокупности, но и проследить количественные изменения признака по однородным группам совокупности, а также и между группами. Следовательно, помимо общей средней для всей совокупности необходимо просчитывать и частные средние величины по отдельным группам.
Различают следующие виды дисперсий: общая; групповая; внутригрупповая; межгрупповая.
Общая
дисперсия
(
)
характеризует вариацию признака всей
совокупности под влиянием всех тех
факторов, которые обусловили данную
вариацию. Эта величина определяется по
формуле (11.11)
(11.11)
где -
общая
средняя арифметическая всей исследуемой
совокупности.
Внутригрупповая
дисперсия
(
)
(остаточная
дисперсия)
свидетельствует о случайной вариации,
которая может возникнуть под влиянием
каких-либо неучтенных факторов и которая
не зависит от признака-фактора, положенного
в основу группировки. Данная дисперсия
рассчитывается следующим образом:
сначала рассчитываются групповые
дисперсии
(
)
(11.12), затем средняя
внутригрупповая дисперсия
(11.13):
(11.12)
(11.13)
где ni - число единиц в совокупности.
Межгрупповая
дисперсия 
(дисперсия
групповых средних)
характеризует систематическую вариацию,
т.е. различия в величине исследуемого
признака, возникающие под влиянием
признака-фактора, который положен в
основу группировки. Эта дисперсия
рассчитывается по формуле (11.14):
(11.14)
где -
средняя
величина по отдельной группе.
Все три вида дисперсии связаны между собой: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии (11.15):
(11.15)
Данное соотношение отражает закон, который называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому закону (правилу), общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, которые появляются как под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки, так и под влиянием других факторов.
Коэффициент детерминации рассчитывается как отношение межгрупповой дисперсии к общей дисперсии; он показывает, какую долю общей вариации признака составляет вариация, обусловленная фактором, положенным в основание группировки. При отсутствии связи он просто равен нулю, при чисто функциональной связи — 1. В общем случае коэффициент детерминации принимает значения между 0 и 1.
Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается как корень квадратный из коэффициента детерминации; оно характеризует тесноту связи.
Очевидно, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака. Среди варьирующих признаков, изучаемых статистикой, встречаются такие, вариация которых проявляется в том, что у одних единиц совокупности они встречаются, а у других – нет. Признаки, которыми обладают одни единицы и не обладают другие, называются альтернативными. Количественная вариация альтернативного признака проявляется в значении 0 у единиц, которые им не обладают (q), или в значении 1 у единиц, обладающих этим признаком (p - доля). При этом всегда p + q = 1, а q = 1 - p . Среднее значение альтернативного признака равно доле, которая является обобщающей характеристикой совокупности по этому варьирующему признаку.
Дисперсия альтернативного признака (ДАП) равна произведению доли на дополняющее эту долю единицы число (p * q). Корень квадратный из ДАП соответствует среднему квадратичному отклонению (СКО). Поскольку p + q не может быть больше единицы, то СКО не может превышать 0, 25.
Дисперсия характеризуется несколькими важными и полезными для ее вычисления свойствами:
1) если от всех вариант отнять или прибавить какое-то постоянное число А, то дисперсия не изменится, т. е. дисперсию можно вычислять по отклонениям вариант от какого-то постоянного числа;
2) если все значения вариант разделить или умножить на какое-то постоянное число А, то дисперсия уменьшится или увеличится в А2 , а среднее квадратическое отклонение – в А раз;
3) если исчислить дисперсию от любой величины А, отличающейся от средней арифметической, то она всегда будет больше дисперсии, исчисленной от средней арифметической, причём на величину квадрата разности между средней и величиной А; другими словами, дисперсия от средней имеет свойство минимальности;
4) дисперсия равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом среднего значения признака (этот метод расчёта широко используют на практике).