9. Метод оценки параметров моделей линейного и экспоненциального тренда по двум точкам.

Оценка параметров по двум точкам основывается на определении среднего коэффициента роста, который рассчитывается по формуле:

или

Коэффициент роста показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, с которым производится сравнение (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть уровня, с которым производится сравнение, составляет сравниваемый уровень (если он меньше единицы).

10. Анализ значимости параметров многофакторной линейной модели по критерию Стьюдента. Для каких моделей временных рядов он может применяться?

Разработка стратегии планирования представляет собой весьма сложный и трудоемкий процесс. Во многом это обусловлено необходимостью комплексного анализа достаточно большого числа показателей, характеризующих состояние исследуемой экономической системы.

Одним из наиболее широко распространенных и гибких приемов обработки статистических данных является корреляционно-регрессионный анализ. При этом в многомерном анализе:

исследуется зависимость результативной величины – отклика y от нескольких независимых переменных – предикторов (xj), т.е. y = f(x1, x2, …, xm) + е;

учитывается возможность наличия тесных связей между парами предикторов, искажающих конечные результаты регрессионного анализа отклика (мультиколлинеарность);

корректное проведение анализа обычно требует, чтобы соотношение между числом наблюдаемых объектов (числом периодов времени) и числом предикторов было 6-8 к 1;

графическое представление множественной регрессии при числе предикторов, превышающем 2, становится невозможным, и все выводы формируются в ходе аналитического решения задачи;

в связи с тем, что в множественном корреляционно-регрессионном анализе определяется большое число параметров, проверке на достоверность подлежит не только регрессионная модель в целом, но и каждый из ее параметров, а также всевозможные парные и частные коэффициенты корреляции.

Надежность получаемых оценок коэффициентов регрессии зависит от дисперсии случайных отклонений в генеральной совокупности, но поскольку по данным выборки эти отклонения оценены быть не могут, они заменяются ei – отклонениями значений y от оцененной линии регрессии. Величину называют необъясненной дисперсией, S – стандартной (средней квадратической) ошибкой регрессии. Дисперсии коэффициентов регрессии и их средние квадратические значения ошибок определяются по формуле:

,

где Zii – диагональный элемент матрицы .

Формально значимость коэффициента ai можно оценить по его отношению к своему стандартному отклонению: .

Эта величина (т.н. t-статистика) имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы n-m-1 (n – число наблюдений). Для t проверяется нулевая гипотеза, т.е. гипотеза о равенстве нулю. Очевидно, ti =0 равнозначно a­i=0. Альтернативная гипотеза: ti ≠ 0.

11. Показатели, используемые для оценки точности прогнозных моделей. Преимущества и недостатки различных показателей.

Точность модели характеризуется величиной отклонения выхода модели от реального значения моделируемой переменной (экономического показателя).

1.Абсолютная ошибка - разница между истинным значением величины и ее прогнозным значением.

et=yt-y^t

∆t=|et|

Недостаток абсолютных показателей состоит в том, что их нельзя сравнивать, не учитывая разницы в общей численности и структуре.

2.Относительная ошибка - отношение абсолютной погрешности к тому значению, которое принимается за истинное:Et=yt/y^t-1, yt=y^t*(1+Et)

Et=(yt-y^t)/y^t=et/y^t

E сред=1/n∑|Et|

3. Средняя квадратическая ошибка Se= √∑e2/(n-k)

Однако у этого способа есть несколько особенностей, например, большая чувствительность к большим отклонениям прогнозируемого значения от реального. Пусть построенная модель в целом довольно хорошо повторяет реальные данные о продажах, но имеются несколько точек, где отклонение от реальных данных большое. Рассчитывая для модели среднеквадратическую ошибку, в таком случае оценка качества модели может быть неудовлетворительной, и в результате принимается неправильное решение при выборе модели. Для устранения этого недостатка необходимо компенсировать величину ошибки значимостью этой ошибки. В таком случае возможность перевеса множества мелких ошибок одной крупной удастся избежать.

4. Средняя абсолютная ошибка вычисляется как среднее абсолютных ошибок. Если она равна 0, то имеем совершенную подгонку (прогноз). В сравнении со средней квадратической ошибкой, эта мера "не придает слишком большого значения" выбросам.

∆ср=1/n

Сред квадратич ошибка больше сред абсолют ошибки в √π/2 раз. Это нормальный закон распределения. На этом отношении основан критерий Гири о проверке гипотез о нормальном распределении:

Se/∆ср≈√π/2

5. Квадрат множественного коэффициента корреляции называется множественным коэффициентом детерминации. Характеризует степень сходства исходных данных и предсказанных. Не зависит от единиц измерения данных, поэтому поддается сравнению.R 2=1-∑e2 t/ ∑(yt-yсред)2

R2 от 0 до 1.

R2 содержит информацию о том, насколько хорошо модель подходит под исходные данные. Если R2 =0, это означает, что регрессия ничего не дает, т.е. знание t не улучшает предсказания для y. Другой крайний случай R2 =1 означает точную подгонку: все точки наблюдений лежат на регрессионной прямой. Чем ближе к 1 значение R2, тем лучше качество подгонки. Однако само по себе значение коэффициента детерминированности не может свидетельствовать о том, что модель выбрана правильно.

1-R2 – коэффициент сходимости.

6. средний процент ошибки характеризует относительную степень смещенности прогноза. При условии, что потери при прогнозировании, связанные с завышением фактического будущего значения, уравновешиваются занижением, идеальный прогноз должен быть несмещенным, и обе меры должны стремиться к нулю. Средняя процентная ошибка не определена при нулевых данных и не должна превышать 5%.

V=Se/yсред %

e отн=1/n∑|et/yt|

В приведенных формулах п – количество уровней ряда, k – число определяемых параметров модели, – оценка уровней ряда по модели, – среднее арифметическое значение уровней ряда.