2. Основные методы расчета электричеких цепей

Вынужденные составляющие в виде постоянной величины и периодической синусоидальной функции времени (частное решение дифференциального уравнения) называют установившимися составляющими, поскольку они характеризуют установившийся режим цепи после затухания свободной составляющей. Режим перехода цепи от одного установившегося состояния к другому принято называть переходным процессом или режимом.

Ниже рассматриваются методы расчета цепей в установившемся режиме.

2.1. Комплексный метод

Токи и напряжения, изменяющиеся во времени по синусоидальному закону, записывают:

,

где - амплитуда или максимальное значение,

) – фаза, измеряемая в радианах или градусах,

- начальная фаза, определяющая значение функции при t = 0,

- угловая частота (рад/с), определяющая период колебаний

.

Число периодов в секунду называют циклической или просто частотой , измеряемой в герцах (Гц).

Амплитуда, частота и начальная фаза полностью характеризуют синусоидально изменяющуюся величину, однако на практике для оценки действия синусоидальных токов и напряжений вводят действующее и среднее (по модулю) значения.

Действующим или среднеквадратичным называют величину:

.

На действующие значения градуируются приборы, предназначенные для измерения переменных токов и напряжений.

Среднее значение по модулю определяется:

.

На средние значения градуируются приборы, предназначенные для измерения постоянных токов и напряжений.

На рис. 2.1 показаны временной график синусоидальной функции (а) и ее векторное изображение или векторная диаграмма (б).

а б

Рис. 2.1

Нетрудно представить, что операции с синусоидальными токами и напряжениями, имеющими различные начальные фазы, в тригонометрической и графической формах сложны и громоздки. Поэтому широкое распространение получил комплексный (символический) метод.

Суть его - в представлении синусоидальных функций одинаковой частоты функциями комплексной частоты. Для перехода от функций времени к функциям комплексной частоты используют формулу Эйлера: , где - мнимая единица (йот). Согласно этой формуле, , где обозначает мнимую часть комплексного числа, которое, в свою очередь, можно представить . Здесь - фазовый множитель, а - временной множитель.

Если ввести в рассмотрение знак соответствия , то для фиксированного момента времени t = 0 будем иметь: f(t) . Здесь - комплексная амплитуда; - комплексное действующее значение функции.

При сложении (вычитании) комплексных чисел их записывают в алгебраической форме и отдельно складывают (вычитают) их действительные и мнимые части.

Например, если ,

а ,

то ,

где ; .

Умножение и деление комплексных величин производят, как правило, в показательной форме:

;

.

В комплексной форме дифференцирование по времени соответствует умножению, а интегрирование - делению комплексных значений рассматриваемых функций на j, так что:

;

.

Величины X_L и X_C - индуктивное и емкостное сопротивления гармоническому току;

Z_L и Z_C – соответственно индуктивное и емкостное сопротивления в комплексной форме.

Для резистивного элемента напряжение в комплексной форме определяется:

u_R = R  i U _mR = R  I _m = Z _R  I _m ,

где Z_R = R - величина вещественная.

Если пользоваться действующими значениями, тогда:

U _R = Z _R  I ; U _L = Z _L  I ; U_C = Z_C  I.

Примеры определения входных (эквивалентных) комплексных сопротивлений двухполюсников, состоящих (образованных) из R, L, C – элементов приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Величину, обратную комплексному сопротивлению, называют комплексной проводимостью . Как следует из приведенной табл. 2.1, при последовательном соединении пассивных элементов суммируются алгебраически их комплексные сопротивления, а при параллельном – комплексные проводимости.

Выражения комплексных сопротивления Z и проводимости Y для любого двухполюсника содержат информацию как о соотношении между действующими (амплитудными) значениями тока I и напряжения U, так и фазовом сдвиге между ними:

; .

Вещественная и мнимая части комплексного сопротивления представляют его активное R и реактивное X сопротивления:

.

Аналогично вещественная и мнимая части комплексной проводимости Y представляют активную G и реактивную b проводимости:

.

Нетрудно установить, что

; ; .

Соотношения между R, X, Z, G, b, y иногда изображают графически в виде треугольников сопротивлений и проводимостей, показанных на рис. 2.2, а и б соответственно.

а б

Рис. 2.2

Согласно рис. 2.2, активные и реактивные сопротивления и проводимости без фазового множителя складывать н е л ь з я.

ПРИМЕР 2.1. Определите комплексную амплитуду тока, изменяющегося по закону i(t) = 10sin(100t + 30⁰).

РЕШЕНИЕ. Комплексная амплитуда представляет собой функцию, модуль которой равен амплитуде заданной функции времени, а фазовый множитель е^j определяется ее начальной фазой во временной области. Таким образом, I _m = 10e^j30 или в алгебраической форме I _m = 8,65 + j5.

ПРИМЕР 2.2. Определить входные комплексные сопротивления цепи по рис. 2.3 с элементами R = 10 Ом; L = 50 мГн; С = 1 мФ на частотах ₁ = 0 и ₂ = 100 рад/с.

РЕШЕНИЕ. Сопротивления элементов цепи представляем в комплексной форме: Z _R = R; Z _L = jL и Z _C = . Эквивалентное комплексное сопротивление по отношению к входным зажимам:

Рис. 2.3

.

Подставляя численные значения параметров элементов для частоты ₁ = 0, получаем:

Ом.

Для частоты ₂ = 100 рад/с имеем:

Ом.

ЗАМЕЧАНИЯ. 1. Сигнал с частотой ₁ = 0 и периодом Т =  является постоянным во времени, поэтому входное сопротивление данной цепи чисто вещественное, соответствующее сопротивлению R.

2. Отсутствие мнимой составляющей в комплексном сопротивлении Z(100) на частоте ₂ = 100 рад/с объясняется взаимной компенсацией сопротивлений индуктивности и емкости.

Уравнения цепи в комплексной форме записывают на основе законов Кирхгофа, как показано в табл. 2.2.

Для однозначности записи уравнений цепи соблюдают следующие правила:

1. Положительные направления напряжений ветвей совпадают с произвольно выбранными положительными направлениями токов;

2. При записи первого закона Кирхгофа токи, выходящие из узла, считаются положительными, а входящие в узел - отрицательными;

Таблица 2.2

	Для мгновенных значений	В комплексной форме
Закон Ома для ветви с ЭДС
Первый закон Кирхгофа для узлов
Второй закон Кирхгофа для контуров	или	, или

3. При записи второго закона Кирхгофа положительным считают напряжение, направление которого совпадает с направлением обхода контура;

4. Положительные направления напряжения и тока на источниках энергии - противоположны.

Например, для узла, изображенного на рис. 2.4, а, следует записать:

а б

Рис. 2.4

или ,

если токи синусоидальные, одинаковой частоты.

Для контура, показанного на рис. 2.4, б, имеем:

.

или .

Из первого закона Кирхгофа, в частности, следует:

.

Это дает возможность определять один из токов по m-1 известным. Аналогичное равенство записывается и для второго закона Кирхгофа:

.

ПРИМЕР 2.3. Определить ток i₁ по рис. 2.4, а, если i₂ = 3sint A; i₃ = 4cost A.

РЕШЕНИЕ. На основании первого закона Кирхгофа

i₁ = i₂ - i₃ = 3sint - 4cost.

Вычисления произведем комплексным методом, изобразив

; ; ,

тогда .

Переходя во временную область, получаем: i₁ = 5sin(t - 53,13⁰) А.

ПРИМЕР 2.4. Определить действующие комплексные значения токов I ₃, I ₅ и I ₆ для фрагмента цепи, показанного на рис. 2.5, по заданным токам, изменяющимся по синусоидальному закону:

А; А;

А.

Рис. 2.5

РЕШЕНИЕ. Нетрудно показать, что первый закон Кирхгофа применим не только к узлу, но и к любому сечению, поэтому

- i₁ - i₂ + i₃ = 0.

Отсюда i₃ = i₁ + i₂ . Затем i₅ = i₃ + i₄ и i₆ = - i₂ - i₄.

Записывая заданные токи в комплексной форме для действующих значений ; ; ; и подставляя их в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, находим:

А; А;

А.

ПРИМЕР 2.5. Определите в комплексной форме действующее значение напряжения ветви по рис. 2.6, если R = 86,5 Ом; X_L = 20 Ом;

X_C = 150 Ом; В; А.

Рис. 2.6

РЕШЕНИЕ. Согласно второму закону Кирхгофа для действующих значений напряжений имеем:

или ,

где А; В.

Подставляя численные значения, получаем:

В.