14.4. Понятие о критерии согласия (проверка гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному)

Закон нормального распределения лежит в основе многих теорем и методов статистики при оценке репрезентативности выборки (расчете ошибки выборки и распространении характеристик выборки на генеральную совокупность); измерении степени тесноты связи и составлении модели регрессии; построении и использование статистических критериев и др.

Как показывают многочисленные статистические исследования, частоты (частости) эмпирических распределений за редким исключением будут отличаться от значений теоретического распределения. Расхождения между частотами (частостями) эмпирического и теоретического распределения могут быть несущественными и объяснены случайностями выборки и существенными при несоответствии выбранного и эмпирического законов распределения.

Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения теоретическому закону нормального распределения используются особые статистические показатели-критерии согласия (или критерии соответствия). К ним относятся критерии Пирсона, Колмогорова, Романовского, Ястремского и др.

Большинство критериев согласия базируется на использовании отклонений эмпирических частот то теоретических. Очевидно, что чем больше эти отклонения, тем хуже теоретическое распределения соответствует (описывает) эмпирическому (эмпирическое). Статистические характеристики таких критериев согласия являются некоторыми функциями этих отклонений.

Одним из наиболее часто употребляемых критериев согласия является критерий (хи-квадрат), предложенный К. Пирсоном:

или ;

где - частоты ( - частости) эмпирического распределения по i-й группе;

- частоты (p_i - частости) теоретического распределения в определенном интервале;

m- число групп в эмпиричном распределении;

- общий объем распределения.

Чем больше разность между эмпирическими и теоретические частотами, тем больше величина . Чтобы отличить существенные значения от значений, которые могут возникнуть в результате случайностей выборки, расчетное значения критерия сравнивается с табличным значением при соответствующем числе степеней свободы и заданном уровне значимости. Обычно уровень значимости выбирается таким образом, что .

Можно при проверке данной гипотезы по критерию встретиться с такими вариантами:

1) , т.е. попадает в критическую область. Это означает, что расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами существенно и его нельзя объяснить случайными колебаниями выборочных данных.

В таком случае гипотеза о близости эмпирического распределения нормальному отвергается.

2) , т.е. рассчитанное значение критерия не превышает максимально возможную величину расхождения эмпирических и теоретических частот, которая может возникнуть в силу случайных колебаний выборочных данных. В этом случае гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному принимается (не отвергается).

Число степеней свободы равно , где m-число групп, l – число условий, которые предполагаются выполненными при вычислении теоретических частот.

Для расчета теоретических частот кривой нормального распределения необходимо знать три параметра и поэтому число степеней свободы равно .

При расчете критерия нужно соблюдать следующие условия:

1. число наблюдений (объем выборки) должно быть достаточно велико ;

2. все теоретические частоты по группам должны быть более 5 . Если теоретические частоты в некоторых группах (интервалах) будут меньше 5, то такие интервалы объединяют с соседними так, чтобы частоты были >5;

3. Число групп (интервалов) должно быть достаточно большим, поскольку оценка зависит от числа степеней свободы.

Пример. Проверить нулевую гипотезу о соответствии распределения работников по уровню заработной платы нормальному закону.

Расчетные величины и исходные данные приведены в таблице:

Середины интервалов по группам ( )						Кумулятивная частота		по модулю
						эмпирическая	теоретическая
190	2					2	1,2	0,8
200	5	4,5	2,5	6,25	1,39	7	5,7	1,3
210	13	10,2	2,8	7,84	0,77	20	15,9	4,1
220	17	19,8	-2,8	7,84	0,40	37	35,7	2,7
230	18	26,0	-8,0	64,00	2,46	55	61,7	6,7
240	31	26,0	5,0	25,00	0,96	86	87,7	1,7
250	22	19,8	2,2	4,84	0,24	108	107,5	0,5
260	12	10,2	1,8	3,24	0,32	120	117,7	2,3
270	5	4,5	0,5	0,25	0,05	125	122,2	2,8
Итого	125	хх	хх	хх	6,59	х	х	х

Значения рассчитаны с использованием специальной таблицы плотности нормального распределения и формулы для расчета . (В лекции не приводится, т.к. не предусмотрен рабочей программой).

Расчетное значение . При числе степеней свободы и уровне значимости , .

Итак, получен результат и можно сделать вывод, что данная гипотеза не отвергается, т.е. данное распределение соответствует закону нормального распределения.