14.2. Критерий как инструмент проверки статистической гипотезы. Выбор типа критической области

При проверке гипотез возможны ошибки двоякого рода:

1. Ошибка первого рода – проверяемая гипотеза (ее обычно называют нулевой гипотезой и обозначают Н₀) является в действительности верной, но результаты проверки приводят к отказу от нее;

2. Ошибка второго рода – проверяемая гипотеза в действительности является ошибочной, но результаты проверки приводят к ее принятию.

Суть нулевой гипотезы состоит в том, что если по изучаемому явлению проводить несколько различных наблюдений, то между полученными фактическими значениями статистической характеристики, полученной по ним, не будет существенных различий. Отсюда проверка нулевой гипотезы состоит в сопоставлении величины статистической характеристики, полученной по первичным данным, с наиболее вероятным (теоретическим) значением при приемлемом уровне надежности. Однако, как показывает практика, если проверка привела к выводу о принятии , еще не означает, что она верна: дальнейшие исследования могут привести к противоположному заключению и отклонению этой гипотезы.

Поэтому нулевую гипотезу тоже необходимо проверить, чтобы избежать указанных выше ошибок.

Для уточнения и проверки нулевой гипотезы рассматривают гипотезу являющуюся, ее логическим отрицанием или расширением и дополнением. Она называется альтернативной, конкурирующей (противоположной) и обозначается . Альтернативная гипотеза может быть сформулирована по-разному в зависимости от возможных пределов изменения значений изучаемого статистического показателя, какие отклонения от принятого уровня значимости интересуют исследователя.

Например, по единицам совокупности изучается наиболее типичное значение определенного признака. В качестве типичного значения, как правило, рассматривается средняя. Нулевая гипотеза может быть сформулирована : . Альтернативные гипотезы могут быть сформулированы для этого примера так и .

Правило, по которому проверяется гипотеза, называется статистическим критерием.

В статистике в настоящее время имеется большое число критериев для проверки практически любых гипотез. Притом основные принципы их построения и применения являются общими:

1) сформулировать проверяемую гипотезу . Наряду с проверяемой гипотезой формулируется также конкурирующая (альтернативная) гипотеза ;

2) выбрать уровень значимости , отражающий допустимую вероятность ошибки первого рода;

3) определить область допустимых значений и так называемую критическую область;

4) принять ту ли иную гипотезу (то или иное решение) на основе сравнения фактического и критического значений критерия.

Уровнем значимости принято называть такое малое значение вероятности попадания теоретического значения критерия в критическую область при условии справедливости гипотезы. Обычно уровень значимости принимают равным 0,01 или 0,05.

Исходя из величины уровня значимости можно построить критическую область, под которой понимается такая область значений проверяемой статистической характеристики, попадание в которую приводит к отклонению гипотезы. То есть к критической области относятся те значения характеристики, появление которых при условии верности гипотеза было бы маловероятным (не больше уровня значимости ). Отсюда выбирается достаточно малым.

Все значения рассматриваемой характеристики, не принадлежащие к критической области образуют так называемую область допустимых значений. Если наблюдаемое значение характеристики находится в области допустимых значений, то проверяемая гипотеза принимается с вероятностью .

Итак чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность отклонить проверяемую гипотезу, когда она верна, т.е. меньше вероятность совершить ошибку первого рода. Однако при этом расширяется область допустимых значений, и значит, увеличивается область совершения ошибки второго рода.

При проверке гипотез следует иметь в виду, то статистические критерии различаются друг от друга тем, насколько четко учитывают испытуемую (нулевую) гипотезу и альтернативную гипотезу и с какой вероятностью (как часто) применение конкретного критерия приводит к ошибочному выводу (не отклоняется , когда верна альтернативная гипотеза).

Вероятность отклонения испытуемой гипотезы , когда верна альтернативная, называется мощностью критерия. При прочих равных условиях предпочтение следует отдавать более мощным критериям. Таким образом, при проверке гипотез существенное значение имеют правильное обоснование гипотез, обоснование уровня значимости и выбор критерия с необходимой мощностью.

Выбор уровня значимости предопределяется возможными последствиями отклонения правильной гипотезы или принятия ошибочной гипотезы. Например, при оценке прочности нити, предназначенной для изготовления строп парашюта и рыболовных сетей уровень значимости должен быть разным. Последствия принятия ошибочной гипотезы ( : крепость нити соответствует стандарту, т.е. указанному номеру нити) в первом случае более серьезны (речь идет о человеческой жизни), чем во втором. Отсюда в первом случае уровень значимости должен быть меньше, чем для второго случая.