Энергия Ферми и концентрация электронов в металле
Электронный газ металла, находящийся в основном состоянии при абсолютном нуле, заполняет в - пространстве все состояния внутри некоторой сферы, которая называется поверхностью Ферми. Энергия, соответствующая этой поверхности, называется энергией Ферми и представляет максимальную энергию, что могут иметь электроны при абсолютном нуле температур. Таким образом, поверхность Ферми отделяет в - пространстве занятые состояния от свободных.
Определим величину энергии Ферми
через
концентрацию электронов
Для этого проинтегрируем (4.76) по всем
возможными значениями энергии и учтем,
что при
функция
равняется единице для всех
и нулю для всех
(4.78)
Отсюда энергия Ферми при равна
(4.79)
Для отличной от абсолютного нуля температуры энергия Ферми будет являться функцией температуры
.
(4.80)
Поскольку в металлах при любой температуре, то положение уровня Ферми в металлах определяется лишь концентрацией свободных электронов и практически не изменяется с температурой.
Скорость электронов на поверхности Ферми и температура Ферми определяются через энергию Ферми
и
.
(4.81)
Оценим величину энергии Ферми для
типичного металла, считая концентрацию
электронов
м-3,
эВ.
Среднюю энергию электронов можно определить через энергию Ферми
(4.82)
Следовательно, средняя энергия электронов по порядку величины совпадает с энергией Ферми. Такой энергией молекулы классического газа обладали бы при температуре в несколько десятков тысяч градусов. Это свидетельствует о том, что электронный газ в металлах находится в особом, вырожденном состоянии. Его энергия практически не зависит от температуры.
В том случае, когда фермиевская функция распределения переходит в максвелловскую, вырождение с электронного газа снимается. Это возможно при выполнении условия
(4.83)
Выразим это условие через параметры электронного газа. Для этого проинтегрируем (4.76) с учетом (4.83)
Отсюда условие снятия вырождения с электронного газа может быть представлено в виде
(4.84)
Обратное неравенство означает, что электронный газ находится в вырожденном состоянии.
Если приравнять левую часть неравенства (4.84) единице, можно определить температуру снятия вырождения:
(4.85)
Оценивая величину этой температуры для
концентрации электронов
м-3,
получим
К.
Таким образом, электронный газ в металлах всегда находится в вырожденном состоянии.
В заключение заметим, что поверхность Ферми является сферической только в приближении свободных электронов. Для реальных металлов, когда закон дисперсии носит сложный характер, вид поверхности Ферми может быть весьма экзотическим (рис. 4.18).
|
|
Рис.4.18. Поверхность Ферми для реальных металлов |
|
