6. Диэлектрики, полупроводники и металлы в зонной теории

Диэлектрики и полупроводники. Рассмотрим теперь, как зонная теория объясняет физические свойства реальных кристаллов и, в первую очередь, их различие в электропроводности. Если валентные электроны заполняют полностью одну или несколько энергетических зон, а свободная зона отделена от заполненной запрещенной областью, то кристалл является либо диэлектриком, либо полупроводником. Как было установлено выше, энергетические уровни электронов в атоме при образовании кристалла расщепляются в энергетические зоны. Если число состояний в энергетической зоне равняется количеству электронов на соответствующих уровнях всех атомов, из которых образовался кристалл, то зона окажется полностью заполненной. Переход электронов между подуровнями внутри зоны в силу принципа Паули оказывается невозможным. Поэтому в таком кристалле наложение внешнего электрического поля не приводит к появлению электрического тока. Такие вещества являются диэлектриками.

Если ширина запрещенной зоны, которая отделяет полностью заполненную зону от свободной, сравнима по величине со средней энергией теплового возбуждения, то возможны переходы электронов между зонами. В этом случае возникает электропроводность как по не полностью заполненной зоне, так и по выше лежащей частично заполненной зоне. Такие кристаллы относятся к полупроводникам. Следовательно, диэлектрики и полупроводники являются одним типом вещества, и между ними нет принципиального различия, а расхождение носит количественный характер – по величине запрещенной зоны (рис. 4.7 а, б). К полупроводникам относят вещества с эВ.

а	б	в г
Рис. 4.7. Упрощенная структура энергетических зон диэлектрика (а), полупроводника (б) и металла (в, г)

Структура энергетических зон некоторых полупроводников. Среди простых полупроводников наибольшее применение получили германий и кремний. Атомы этих веществ при химических взаимодействиях переходят в возбужденное состояние, в котором четыре валентных электрона имеют одинаковое направление спинов и пространственно локализованы на максимальном удалении друг от друга, то есть находятся вблизи вершин тетраэдра. Поэтому, кристаллизуясь, такие вещества образуют решетку типа алмаза, первая зона Бриллюэна для которой имеет форму октаэдра с отсеченными шестью вершинами (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Первая зона Бриллюэна решетки типа алмаза

Основными точками симметрии такой зоны являются: – центр зоны; – центр квадратной грани в направлении ; – центр шестиугольной грани в направлении ; – середина ребра шестиугольной грани и некоторые другие.

При образовании кристаллической решетки -уровни расщепляются на две энергетические зоны, верхняя из которых отвечает антисимметричным координатным волновым функциям, а нижняя – симметричным. Этим зонам отвечают существенно различные значения энергии (из-за разного знака обменного интеграла). Подобным же образом происходит расщепление уровней. В результате перекрывания этих зон образуются две гибридные зоны, каждая из которых содержит по состояния ( – число атомов в кристалле). Электроны заполняют нижнюю зону, которая называется валентной, верхняя, которая называется зоной проводимости, остается свободной (рис. 4.9). В каждой из них имеется по три различные зоны, которые возникают за счет снятия вырождения с состояний. На рис. 4.10 они представлены тремя ветвями , причем эти зависимости различны для разных направлений и могут иметь минимумы, которые называются долинами. Положение абсолютного минимума определяет энергию дна зоны проводимости

Рис.4.9. Образование энергетических зон в кремнии

У кремния абсолютный минимум расположен по направлениям на расстоянии от центра зоны, соответственно имеем шесть эквивалентных минимумов. В германии абсолютный минимум лежит по направлениям , поэтому имеем восемь эквивалентных минимумов энергии на границах зоны Бриллюэна в точках

Теоретический расчет зависимости представляет значительные трудности, однако вблизи экстремальных точек зоны эта зависимость изучена хорошо.

Для германия и кремния закон дисперсии в зоне проводимости вблизи минимумов может быть представлен в виде

(4.52)

Здесь величины и называются соответственно поперечной и продольной эффективными массами. Для германия и , для кремния и .

Изоэнергетические поверхности вблизи экстремальных точек (дна зоны проводимости) согласно (4.52) представляют собой эллипсоиды вращения (рис. 4.11). Для германия их центры находятся на границах зоны, поэтому на первую зону Бриллюэна приходится половина каждого эллипсоида энергии, следовательно, имеем только четыре полных эллипсоида энергии. В кремнии имеем шесть эллипсоидов энергии, полностью находящихся внутри зоны Бриллюэна. Отношение , характеризующее анизотропию свойств изоэнергетической поверхности, для германия составляет 20, для кремния – 5,16.

Рис.4.10.Энергетическая структура зоны проводимости и валентной зоны кремния

Для валентной зоны максимумы всех трех полос энергии находятся в центре зоны Бриллюэна . В точке две полосы соприкасаются, то есть состояния являются вырожденными, и закон дисперсии в этом случае может быть приближенно описан выражением

(4.53)

где – потолок валентной зоны, знак минус относится к подзоне тяжелых дырок, знак плюс – к подзоне легких дырок, коэффициенты являются безразмерными константами, значения которых приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1. Значение безразмерных постоянных

Полупроводник	А	В	С
Германий Кремний	13,1 4,0	8,3 1,1	12,5 4,1

а	б
Рис. 4.11. Изоэнергетические поверхности для германия (а) и кремния (б)