Уровень Ферми и концентрация носителей в примесных полупроводниках
Полупроводник может содержать как
донорную, так и акцепторную примесь.
Пусть концентрации этих примесных
уровней составляют соответственно
и
,
и они располагаются на расстоянии Ed
и Ea
от краев соответствующих зон.
Для определения положения уровня Ферми в полупроводнике используется уравнение электронейтральности, которое в этом случае будет иметь вид
,
(4.122)
где
и
–
концентрации электронов в зоне
проводимости и на донорных уровнях
соответственно,
и
– концентрации дырок в валентной зоне
и на акцепторных уровнях соответственно.
Концентрации носителей на примесных уровнях определяются фермиевской функцией распределения, поскольку соответствующие уровни расположены в запрещенной зоне:
,
(4.123)
.
(4.124)
Предэкспоненциальный множитель g
в (4.123) и (4.124) учитывает статистический
вес состояния примеси и называется
фактором вырождения. При наличии только
спинового вырождения g=2.
Часто этим фактором пренебрегают
и полагают
.
Рассмотрим случай невырожденного полупроводника. Тогда с учетом (4.115), (4.116), (4.123) и (4.124) условие (4.122) можно представить в виде
.
(4.125)
Определение уровня Ферми из (4.125) довольно затруднительно, поэтому рассмотрим некоторые частные случаи, имеющие, тем не менее, важное практическое значение.
Донорный полупроводник. Будем считать, что Nd>>Na и температура не слишком велика, так что переходами электронов из валентной зоны в зону проводимости можно пренебречь. Тогда (4.125) принимает вид
.
После некоторых преобразований это уравнение приводится к квадратному уравнению
.
Решив его и прологарифмировав полученное выражение, находим
.
(4.126)
Проведем анализ найденного выражения для уровня Ферми. В области низких температур, когда выполняется условие
,
Формула (4.126) упрощается, и положение уровня Ферми определяется выражением
.
(4.127)
Из (4.127) видно, что уровень Ферми при
абсолютном нуле температуры проходит
посередине между дном зоны проводимости
и примесным уровнем. При достаточно
низких температурах (пока
)
уровень Ферми повышается до некоторого
максимального, а затем начинает снижаться.
Такому изменению уровня Ферми отвечает
экспоненциальная зависимость концентрации
электронов от температуры
.
(4.128)
Эта область называется областью слабой ионизации примеси (на рис.4.21 она отмечена цифрой 1).
При последующем повышении температуры концентрация электронов в зоне проводимости растет, а концентрация электронов на примесных уровнях уменьшается. При выполнении неравенства
формула (4.126) аппроксимируется выражением
,
(4.129)
которому соответствует
.
(4.130)
Это означает, что практически вся донорная примесь оказывается ионизированной, и концентрация электронов в зоне проводимости не зависит от температуры. Эта область температур называется областью истощения примеси (или областью насыщения) и на рис. 4.21 обозначена цифрой 2.
Температура
,
при которой
,
называется температурой насыщения, и
ее можно определить из условия
.
(4.131)
При последующем повышении температуры увеличение концентрации электронов в зоне проводимости будет происходить за счет переходов электронов из валентной зоны. В этом случае положения уровня Ферми и концентрация электронов определяются уравнениями (4.120), (4.130) и (4.121).
На рис.4.21 область 3 отвечает области
собственной проводимости. В этом случае
;
воспользовавшись (4.120), (4.130), получаем
уравнение для определения температуры
перехода к собственной проводимости
.
(4.132)
Таким образом, используя описанные приближения, можно проследить изменение концентрации электронов (рис.4.22) и положения уровня Ферми (рис.4.21, а) для невырожденного электронного полупроводника во всей области изменения температур.
Акцепторный полупроводник. Аналогичные расчеты можно провести для полупроводника, легированного акцепторной примесью.
В дырочном полупроводнике при температуре абсолютного нуля уровень Ферми лежит посередине между потолком валентной зоны и уровнем акцепторной примеси. С повышением температуры уровень Ферми будет стремиться к середине запрещенной зоны. Положение уровня Ферми в зависимости от температуры для дырочного полупроводника изображено на рис.4.21, б.
|
|
а |
б |
Рис. 4.21. Положение уровня Ферми для полупроводника n -типа (а) и р-типа (б) в зависимости от температуры |
|
|
Рис.4.22. Изменение концентрации носителей заряда для примесного полупроводника в зависимости от температуры |
