4. Энергетическая структура твердых тел

Дискретные энергетические уровни атомов, образующих твердое тело, под действием возмущающего действия полей окружающих атомов расщепляются в энергетические зоны. Решение уравнения Шредингера в приближении сильной или слабой связи дает качественно одну и ту же картину для структуры энергетических зон твердых тел.

Наибольшее значение для электронных свойств твердых тел имеют верхняя и расположенная ниже разрешенные зоны энергий. Если между ними нет энергетического зазора, то твердое тело с такой зонной структурой является металлом. Если величина энергетической щели между этими зонами (запрещенной зоны) больше 3 эВ, то твердое тело является диэлектриком. И, наконец, если ширина запрещенной зоны составляет (0,1 ÷ 3,0) эВ, то твердое тело принадлежит к классу полупроводников.

Поскольку в полупроводниках ширина запрещенной зоны меняется в широком диапазоне, то вследствие этого в значительной мере меняется их

удельная проводимость.

Рассматриваются энергетические состояния в несовершенных кристаллах, вводится понятие энергии Ферми в металлах, уровня Ферми в полупроводниках.

1. Общие сведения об электрических свойствах твердых тел

Одной из внешних характеристик, отражающих внутреннюю структуру твердого тела, является электропроводность. По электрической проводимости твердые тела можно разделить на два класса – проводники, к которым относятся вещества с низким удельным сопротивлением , и диэлектрики с удельным сопротивлением более . Промежуточное состояние занимают полупроводники.

В отсутствие внешнего электрического поля имеющиеся в проводниках и полупроводниках свободные носители заряда хаотически перемещаются в кристалле с некоторой тепловой скоростью , причем направленное движение носителей отсутствует. Взаимодействие электронов с фононами и дефектами кристаллической решетки приводит к их рассеянию.

Под действием внешнего электрического поля носители приобретают направленную составляющую скорости . Координированное движение свободных электронов накладывается на хаотическое движение, что в итоге приводит к переносу зарядов в твердом теле и, следовательно, к электрическому току. Это явление можно описать в аналитической форме, если ввести силу, которая действует на каждый электрон со стороны поля, и просуммировать по всем свободным носителям. Ограничимся слабыми полями, при которых энергия, приобретаемая электроном в электрическом поле, мала по сравнению с кинетической энергией его хаотического движения.

Направленное движение носителей в электрическом поле называется дрейфом. Дрейфовую составляющую скорости можно вычислить, если решить уравнение движения

, (4.1)

где ( ) и – заряд и эффективная масса носителя (это понятие будет введено дальше). Интегрирование уравнения позволяет определить скорость в момент времени

(4.2)

Первый член представляет начальную скорость, среднее значение которой равняется нулю. Скорость не может расти безгранично из-за рассеяния, которое приводит к тому, что электрон после столкновения полностью теряет избыток скорости, приобретенный за счет электрического поля. Среднее увеличение скорости электрона за время между двумя столкновениями определяет дрейфовую скорость

, (4.3)

где величина называется временем релаксации.

Если концентрация электронов составляет , то ток равняется , и после подстановки получим плотность тока

. (4.4)

Сравнив (4.4) с законом Ома¹ в дифференциальной форме, определим удельную проводимость

(4.5)

Со временем релаксации связана важная величина, называемая подвижностью носителей заряда которая численно равняется скорости, приобретаемой зарядом под действием электрического поля единичной напряженности

. (4.6)

Подвижность можно измерять непосредственно, и поэтому она является более удобным понятием, чем время релаксации.

Когда по проводнику течет ток, то в нем выделяется тепло. Источником тепловой энергии является электрическое поле, которое ускоряет электроны, передавая им энергию; при рассеянии (столкновениях) последние отдают решетке свою энергию. При концентрации электронов количество энергии , переданное решетке за 1 с, равняется

(4.7)

Это есть известный закон Джоуля²-Ленца³.

Рассеяние электронов происходит на фононах и различного рода дефектах: вакансиях, межузельных атомах, примесных атомах, дислокациях. Экспериментально установлено, что вклады в удельное сопротивление , обусловленные различными механизмами, аддитивны. В этом и заключается правило Маттисена⁴. Физически оно обусловлено самой природой рассеяния.

Температурная зависимость проводимости твердого тела обуславливается температурными зависимостями подвижности и концентрации носителей заряда. В металлах концентрация электронов практически не зависит от температуры, а подвижность с ростом температуры уменьшается из-за рассеяния на фононах, что приводит к уменьшению проводимости металлов при увеличении температуры. В полупроводниках преобладающим фактором является экспоненциальный рост концентрации носителей при повышении температуры, поэтому проводимость полупроводников резко растет при увеличении температуры.

Количественные соотношения для этих и других процессов в твердых телах будут получены нами в следующих разделах курса.