Лекция 5. Амплитудно-модулированные колебания

Радиосигналы с амплитудной модуляцией. Временное и спектральное и векторное представление АМК. Энергетические характеристики АМК. Сигналы с балансной, однополосной и полярной модуляцией. Достоинства, недостатки и применение сигналов с амплитудной модуляцией.

Как уже упоминалось в лекции 2, модуляция служит для повышения эффективности передачи информации с помощью радиоволн. Амплитудно-модулированные колебания появились исторически одними из самых первых. Уже к середине 30-х годов ХХ века была предложена теория амплитудной модуляции и первые практические реализации передатчиков и приемников с АМК. В дальнейшем появились усовершенствованные способы амплитудной модуляции: балансная и однополосная АМ, а к середине ХХ века разработаны многочисленные виды модуляции для стереофонического вещания, наиболее распространенными из которых являются полярная амплитудная модуляция и модуляция с пилот-тоном.

При АМ гармоническим сигналом мгновенная частота и начальная фаза колебания неизменны, а амплитуда изменяется прямо пропорционально модулирующему сигналу:

U(t) = U₀ + k_АМS_mcos (F₀t + ₀), (5.1)

где U₀ – амплитуда несущей (при отсутствии модуляции) k_АМ – коэффициент пропорциональности, S_m – амплитуда модулирующего сигнала, F₀, ₀ – мгновенная частота и начальная фаза модулирующего сигнала.

Произведение k_АМS_m = U представляет собой изменение амплитуды сигнала.

Величину равную M = U/ U₀ называют коэффициентом амплитудной модуляции.

С учетом этого выражение (5.1) можно записать в виде

U(t) = U₀ [1+ Mcos (F₀t + ₀)]. (5.2)

Окончательно АМК запишется в виде

u_АМ(t) = U(t)cos(f₀t+₀) = U₀ [1+ Mcos (F₀t + ₀)] cos(f₀t+₀), (5.3)

где f₀, ₀ – мгновенная частота и начальная фаза несущей.

Выражение (5.3) называют канонической формой записи АМК.

На рис. 5.1 проиллюстрирован процесс модуляции так называемым "чистым" тоном (гармоническим сигналом с частотой F₀). Сверху изображен низкочастотный синусоидальный модулирующий сигнал U(t), под ним немодулированная высокочастотная несущая u_н(t), внизу результирующий амплитудно-модулированный сигнал u_АМ(t).

Рассмотрим спектр АМК при модуляции чистым тоном. Раскрыв скобки, преобразуем выражение (5.3) так

u_АМ(t) = U₀ [1+ Mcos (F₀t + ₀)] cos(f₀t+₀) =

= U₀cos(f₀t+₀) + U₀Mcos (F₀t + ₀) cos(f₀t+₀).

Воспользуемся тригонометрической формулой для произведения косинусов:

u_АМ(t) = U₀cos(f₀t+₀) + cos [(f₀ +F₀)t + ₀ + ₀] +

+ cos [(f₀ –F₀)t + ₀ – ₀]. (5.4)

Рассмотрим подробнее каждое слагаемое выражения (5.4).

Очевидно, что первое слагаемое соответствует немодулированной несущей с амплитудой U₀ , частотой f₀ и начальной фазой ₀. Второе слагаемое – гармонический сигнал с амплитудой , частотой f₀ +F₀ и начальной фазой ₀ + ₀. Это верхнее боковое колебание (ВБК). Наконец, третье слагаемое представляет собой гармонический сигнал с амплитудой , частотой f₀ – F₀ и начальной фазой ₀ – ₀ и носит название нижнего бокового колебания (НБК).

На частотной оси сигналу вида (5.4) соответствует спектр из трех компонентов, изображенный на рис. 5.2.

Примечание. Соотношения амплитуд и фаз на рис. 5.2 носят качественный характер.

Из рис. 5.2 очевидно, что амплитуды верхнего и нижнего боковых колебаний равны между собой и меньше, чем амплитуда несущей (поскольку М1). Спектр амплитуд симметричен относительно вертикальной оси, проходящей через точку с частотой f₀.

Таким образом, в процессе амплитудной модуляции осуществляется перенос НЧ спектральной составляющей с частотой F₀, в область частот в окрестности f₀, причем F₀ << f₀.

Отметим, что ширина спектра амплитудно-модулированного колебания оказывается равной удвоенной частоте модулирующего сигнала:

f_АМ = 2F₀. (5.5)

Рассмотрим более сложный случай модуляции произвольным сигналом.

Из лекции 3 известно, что произвольный сигнал можно представить в виде суммы гармоник:

U(t) = [U_ncos(2nF₀t) + ₀]. (5.6)

Примем для упрощения, что ₀ = ₀ = 0, и ограничимся рассмотрением спектра амплитуд. Пусть постоянная составляющая в модулирующем сигнале отсутствует.

С учетом этого, подстановка (5.6) в (5.4) даст следующий результат:

u_АМ(t) = U₀cos(f₀t+₀) +

+ { cos [(f₀ +F_n)t ] + cos [(f₀ –F_n)t ]}, (5.7)

где M_n = U_n /U₀ парциальные коэффициенты модуляции, F_n – частоты исходных спектральных составляющих модулирующего сигнала.

Воспользуемся также сформулированным ранее правилом, что для физически реализуемого сигнала с ростом частоты амплитуда спектральных составляющих, как правило, убывает. Следовательно, с ростом n M_n будет уменьшаться. Рисунок 5.3 качественно иллюстрирует исходную и результирующую спектральные диаграммы.

Таким образом, при модуляции структура спектра модулирующего НЧ-сигнала полностью сохраняется, а ширина спектра результирующего АМК равна 2F_max, где F_max – максимальная частота в спектре исходного НЧ сигнала.

При рассмотрении АМК сигнал удобно представить на комплексной плоскости в виде векторной диаграммы (рис. 5.4). Длина вектора соответствует амплитуде, а его угловое положение – фазе. Вращение вектора с некоторой угловой скоростью  = 2f имитируется поворотом самой координатной системы и соответствует изменению времени t.

На рис. 5.5 представлена векторная диаграмма АМК при модуляции чистым тоном.

Рис. 5.5

Вектор несущей отложен из точки 0, он имеет амплитуду U₀ и начальную фазу ₀. Векторы боковых колебаний отложены из точки 0'. В результате сложения векторов получается результирующий вектор U_. С течением времени происходит вращение векторов боковых колебаний с угловой скоростью ₀ = 2F₀. Сама координатная система поворачивается вокруг точки 0 с угловой скоростью ₀ = 2f₀.

Поскольку амплитуды (U_{НБК ,} U_ВБК), фазы ₀ и угловые скорости ₀ ВБК и НБК равны, то в процессе модуляции с течением времени изменяется длина результирующего вектора U_ , а его угловое положение остается неизменным, т.е. ₀ = const.

Рассмотрим теперь энергетические характеристики АМК.

АМК представляет собой периодический процесс, следовательно, основной энергетической характеристикой служит средняя мощность, определяемая по формуле (2.3), интегрирование в которой осуществляется в течение интервала, равного периоду.

Из выражения (5.3) очевидно, что существует два существенно различных периода:

1) период огибающей T_F = 1/F₀ ;

2) период несущей T_f = 1/f₀.

Определим сначала среднюю мощность АМК за период несущей.

Так как T_f << T_F, то на протяжении интервала времени, равного периоду несущей, изменениями амплитуды можно пренебречь и считать U(t) = const.

Возможны три основных случая:

1. cos (F₀t + ₀) = 0; U(t) =0; u_АМ(t) = U₀cos(f₀t+₀), тогда

P_ср = 1/ T_f U₀²cos²(f₀t+₀) dt = U₀²/2 = P₀. (5.8)

2. cos (F₀t + ₀) = 1; U(t) = U_max ; u_АМ(t) = U₀ (1+M)cos(f₀t+₀), тогда

P_ср = P_max = U₀²/2 (1+M)² = P₀(1+M)² . (5.9)

3. cos (F₀t + ₀) = –1; U(t) = U_min ; u_АМ(t) = U₀ (1–M)cos(f₀t+₀), тогда

P_ср = P_min = U₀²/2 (1–M)² = P₀(1–M)² . (5.10)

Пример 5.1.

Пусть M = 1. Рассчитать P_max и P_min.

Решение.

Подставив коэффициент модуляции в формулы (5.9) и (5.10), получим

P_min = 0; P_max = 4P₀ , т.е. мощность АМК с течением времени значительно меняется, поэтому во всем динамическом диапазоне мощностей необходимо обеспечить неискаженную передачу сигнала.

Теперь найдем среднюю мощность за период огибающей.

Допущение о постоянстве амплитуды на этом временном интервале не справедливо, поэтому представим формулу (5.4) в следующем виде:

u_АМ(t) = u_н(t) + u_нбк(t) + u_вбк(t),

где

u_н(t) = U₀cos(f₀t+₀);

u_нбк(t) = cos [(f₀ –F₀)t + ₀ – ₀];

u_вбк(t) = cos [(f₀ +F₀)t + ₀ + ₀].

При интегрировании по формуле (2.3) учтем, что несущая и боковые ортогональны, в результате окончательно получим:

P_ср = Р₀ + Р_нбк + Р_вбк = U₀²/2 + 1/2(МU₀²/2)² + 1/2(МU₀²/2)² = Р₀(1+М²/2). (5.11)

Аналогичный результат можно получить, воспользовавшись спектральным представлением АМК и теоремой Парсеваля.

Заметим, что формула (5.11) дает возможность определить полную мощность АМК, а полезная мощность в выражении (5.11) равна сумме мощностей боковых колебаний

Р_п = Р_нбк + Р_вбк.

Пример 5.2.

Пусть M=0,5. Определить, какую долю общей мощности составляет полезная мощность АМК.

Решение.

Из формулы (5.11) получаем

Р_п = Р₀М²/2 = 0,125 Р₀.

Полезная мощность мала по сравнению с общей затрачиваемой мощностью, для улучшения энергетических характеристик используют разновидности АМК: балансную и однополосную модуляцию.

Идея балансной амплитудной модуляции (БАМ или DSB) заключается в изменении фазы несущей за половину периода огибающей. В результате за полный период огибающей несущая компенсируется и сигнал БАМ при модуляции чистым тоном описывается следующим выражением:

u_БАМ(t) = cos [(f₀ –F₀)t + ₀ – ₀] + cos [(f₀ +F₀)t + ₀ + ₀].

Идеальная спектральная диаграмма БАМ при модуляции произвольным сигналом изображена на рис. 5.6.

Как видим, в идеальном случае спектральная составляющая несущей отсутствует, на практике на частоте несущей f₀ передают относительно небольшой по уровню пилот-сигнал для улучшения демодуляции на приемной стороне.

В результате энергетические характеристики по сравнению с классической АМ улучшаются, а ширина спектра остается неизменной.

Дальнейшим улучшением АМ является однополосная модуляция (ОБП или SSB).

При ОБП на частоте несущей передают небольшой по уровню пилот-сигнал, а из информационных составляющих оставляют только верхнюю (или нижнюю) боковые полосы. В результате доля полезной мощности возрастает, а ширина спектра по сравнению с обычной АМ и БАМ уменьшается в 2 раза.

Однополосная и балансная модуляция особенно целесообразны в условиях ограниченности частотного диапазона: для профессиональной и любительской радиосвязи, а также при передаче широкополосных сигналов, например сигнала изображения в телевидении.

Особая разновидность амплитудной модуляции – полярная модуляция.

Сигналы с полярной модуляцией были предложены для организации стереофонического радиовещания еще в 60-е гг. ХХ века.

Суть метода иллюстрирует рис. 5.7.

Предположим, что в правом и левом канале передаются гармонические сигналы с частотами, различающимися в 2 раза (U_пк и U_лк на рис. 5.7 вверху).

Эти сигналы модулируют ВЧ поднесущую u_пн так, что в результате получается несимметричный сигнал (u_ПМ на рис. 5.7 внизу).

В СССР была принята система с полярно-модулированным (ПМ) сигналом (стандарт Международной организации радиовещания и телевидения OIRT). При этом частота поднесущей равна f_пн = 31,25 кГц , а ее уровень подавляется на 14 дБ. В принятом практически во всем мире стандарте международного консультативного комитета по радиовещанию (CCIR), разработанном в США, при формировании стереосигнала поднесущая 38 кГц подавляется полностью, а для ее восстановления в приемнике передается пилот-тон на частоте f_пн/2 = 38/2 =19 кГц.

Схематично спектры сигналов OIRT и CCIR изображены на рис. 5.8.

Обозначения "П+Л" и "Л–П" на рис. 5.8 соответствуют спектральным компонентам суммарного и разностного сигналов правого и левого каналов.

В заключение перечислим основные недостатки сигналов с амплитудной модуляцией:

1. Информационная избыточность и чрезмерная полоса частот, занимаемая сигналом с АМ: несущая не содержит полезной информации, а боковые колебания дублируют друг друга.

2.Невыгодные энергетические соотношения: даже в идеальном случае (при M=1) доля полезной мощности не превышает 50%, на практике она еще меньше (см. пример 5.2), в результате бόльшая часть мощности радиопередатчика с АМ расходуется на передачу несущей.

3.Ограниченный динамический диапазон: поскольку пределы изменения амплитуды ограничены (0<M<1), расширение динамического диапазона на практике связано с существенными затратами, необходимостью повышать питающее напряжение, отдаваемую выходную мощность каскадов и т.п.

4. Плохая помехоустойчивость: аддитивные и мультипликативные помехи, воздействуя на сигнал с АМ, приводят к искажению передаваемой информации, т.к. она заложена в изменение амплитуды.

5. Изменение выходной мощности в широких пределах: как было показано в примере 5.1, выходная мощность радиопередатчика с АМ может изменяться в пределах от нуля до 4P₀ , следовательно, необходимо обеспечить работы выходных каскадов радиопередатчика в режиме класса "А", т.е. даже при отсутствии модулирующего сигнала такой радиопередатчик будет расходовать мощность источника питания (существуют токи покоя), а значит КПД окажется невысоким.

Указанные недостатки связаны с самим процессом модуляции, поскольку изменяется энергетический параметр (амплитуда), их уменьшение возможно при переходе к альтернативным видам модуляции, рассматриваемым далее.