Лекция 3. Сигналы и их спектры

Основы спектрального анализа детерминированных сигналов. Спектральный анализ периодических и непериодических сигналов. Ряд Фурье. Примеры спектров простейших сигналов.

Спектральный анализ радиосигналов основан на разложении по базису ортогональных функций.

В математике понятие ортогональности функций y(x) в общем виде формулируется следующим образом:

при m  n ;

при m = n . (3.1)

Применительно к радиотехнике с физической точки зрения это означает, что некоторые два сигнала обладают ненулевой собственной энергией, но их взаимная энергия равна нулю. Таким образом, при спектральном разложении соблюдается закон сохранения энергии: энергия исходного сигнала равна совокупности энергии спектральных составляющих.

Самый распространенный в радиоэлектронике базис – базис тригонометрических функций (разложение по гармоническим сигналам).

Основные свойства гармонических сигналов, которые обусловливают их применимость:

• условие ортогональности выполняется на интервале, кратном периоду;

• форма гармонических сигналов сохраняется при линейных преобразованиях (изменяется только амплитуда и фаза);

• возможно использование методов анализа и синтеза, разработанных в электротехнике применительно к синусоидальным колебаниям.

В случае периодического исходного сигнала при разложении в спектр получаем бесконечную сумму ряда

s(t) = a₀/2 + [a_ncos(2nf₀t) + b_nsin(2nf₀t)], (3.2)

где a_n и b_n – коэффициенты разложения (спектральные коэффициенты), n – номер гармоники, f₀ – частота первой гармоники.

Выражение (3.2) известно как тригонометрический ряд Фурье. Коэффициент a₀/2 называют постоянной составляющей сигнала.

На практике формула (3.2) неудобна, поскольку коэффициенты разложения a_n и b_n не имеют подходящей физической интерпретации.

Учитывая, что любую тригонометрическую функцию можно привести к виду A₀cos(2f₀ + ₀) приведем альтернативную запись тригонометрического ряда Фурье:

s(t) = А₀/2 + [А_ncos(2nf₀t) + _n]. (3.3)

Связь коэффициентов в формулах (3.2) и (3.3):

A_n = , _n = – arctg (b_n /a_n). (3.4)

Физически коэффициенты A_n – это амплитуда, а _n – фаза гармоники. Совокупность спектральных коэффициентов называют спектром сигнала в выбранном базисе.

Коэффициенты спектрального разложения вычисляют по следующим формулам:

a_n = ;

b_n = , (3.5)

Рассмотрим примеры разложения наиболее часто встречающихся сигналов по гармоникам.

Пример 3.1. Пусть задан исходный периодический сигнал s_п(t) в виде бесконечной последовательности униполярных прямоугольных импульсов (рис. 3.1).

Воспользовавшись формулами (3.4), (3.5) и проведя несложные преобразования, получим

A_n = (2U_mt_и/T_и) ;

_n = 0, , 2 и т.д.

Здесь использована функция sinc (x) = sin(x)/x (рис. 3.2).

Рис. 3.2

На рис. 3.3 приведено графическое представление спектра амплитуд и фаз рассмотренной последовательности прямоугольных импульсов.

Анализируя рис. 3.3, можно сделать следующие основные выводы:

1. Спектр бесконечной последовательности прямоугольных импульсов бесконечен.

2. При f = 0 имеем амплитуду постоянной составляющей A₀/2.

3. Спектральные составляющие существуют только при определенных дискретных значениях частоты, кратных f₀.

4. Амплитуда спектральных составляющих убывает с ростом частоты по закону функции sinc.

5. При частотах, кратных 1/t_и амплитуда равна нулю.

6. Фаза принимает значения 0, .

Рассмотрим как влияет изменение длительности импульсов и периода их следования на результирующий спектр.

1. Пусть T_и = const, t_и  var. Частоты гармоник не зависят от t_и и остаются постоянными. При увеличении длительности импульсов величина 1/t_и уменьшается, спектр сжимается (рис. 3.4); при уменьшении длительности импульсов спектр растягивается (рис. 3.5). Для наглядности фазы _n не показаны.

2. Пусть t_и = const, T_и  var. Очевидно, что ширина спектра не зависит от T_и и будет неизменной. Изменяется число спектральных составляющих.

Примем для определенности, что период уменьшается, тогда величина 1/T_и растет, а число гармоник уменьшается (рис. 3.6). С ростом T_и насыщенность гармониками возрастает и в пределе при T_и   расстояние между соседними спектральными составляющими стремится к нулю и спектр становится сплошным (рис. 3.7). Попутно заметим, что при T_и   периодическая последовательность превращается в одиночный импульс (непериодический сигнал). Непериодические сигналы и их характеристики будут подробнее рассмотрены в лекции 4.

Пример 3.2. Пусть задан сигнал в виде бесконечной синусоиды с постоянной амплитудой и нулевой начальной фазой (рис. 3.8):

s(t) = U_m sin (2f₀t). (3.6)

Формально сигнал вида (3.6) представить в виде разложения на элементарные математические функции невозможно, поскольку для него не выполняется условие абсолютной интегрируемости. Не вдаваясь в подробности, получим спектральное представление на основе эмпирических соображений.

Сравнивая (3.2) и (3.6) , замечаем, что бесконечная сумма ряда вырождается в единственное слагаемое b₁ sin (2f₀t), следовательно а₀ = а₁ = ... а_n = 0, b₂ = b₃ = = ... b_n = 0, лишь при n = 1, b₁ = U_m.

На оси частот имеем единственную точку с ненулевой амплитудой A₁ при f = f₀ (рис. 3.9).

В таком случае считается, что спектр бесконечного синусоидального сигнала с постоянной амплитудой и мгновенной частотой представляет собой одну бесконечно узкую составляющую (единственную гармонику).

Примечание. На самом деле энергия сигнала, рассмотренного в примере 3.2, будет бесконечно велика, поэтому согласно закону сохранения такой же должна быть и энергия спектра. С другой стороны при бесконечной длительности синусоидального сигнала его спектральная составляющая должна иметь бесконечно малую ширину. Это невозможно для элементарных математических функций. Чтобы обойти данное противоречие в радиоэлектронике прибегают к физической абстракции – сигналу в виде -функции Дирака, обладающей бесконечной малой длительностью и бесконечно большой энергией. На рис. 3.9 приведено ее обозначение в виде стрелки с символом .

Пример 3.3. Сигнал представляет собой бесконечную последовательность гауссовых импульсов длительностью t_и, следующих с интервалом Т_и (рис. 3.10).

При построении спектральной диаграммы учтем то обстоятельство, что гауссовому сигналу вида ₁exp(–₁t ²) в частотной области соответствует тоже гауссова функция, но отличающаяся масштабом: ₂exp(–₂ f ²).

Второе эмпирическое правило, помогающее получить спектр данного сигнала, состоит в том, что при переходе от времени к частоте огибающей исходного сигнала будет соответствовать заполнение спектральной диаграммы, а заполнению сигнала – огибающая спектра.

Третье важное правило, сформулированное в примере 3.1, связывает масштаб сигнала и спектра: коротким сигналам соответствуют протяженные спектры и наоборот спектры сигналов с большой длительностью имеют малую ширину.

Таким образом, на оси частот относительно короткому гауссовому импульсу будет соответствовать относительно протяженная гауссова огибающая, а равномерной бесконечной огибающей соответствуют бесконечно короткие -функции заполнения, следующие с интервалом f₀=1/Т_и. Постоянная составляющая будет равна средней мощности сигнала.

В результате амплитудный спектр будет выглядеть так, как показано на рис. 3.11.

Пример 3.4. Рассмотрим практически важный случай бесконечной периодической последовательности прямоугольных импульсов с синусоидальным заполнением (рис. 3.12).

При построении спектральной диаграммы воспользуемся примерами 3.1, 3.2 и 3.3.

Из изложенного ранее можно сделать ряд выводов.

1. Поскольку последовательность бесконечная и периодическая, то спектральные составляющие будут представлять собой бесконечно короткие -функции следующие с интервалом по частоте равным 1/Т_и.

2. Так как импульсы прямоугольные, огибающая спектра является функцией sinc(ft_и).

3. Нули функции sinc(ft_и) находятся в точках с координатами кратными 1/t_и.

4. Поскольку заполнение синусоидальное и Т_и >> T₀, постоянная составляющая равна нулю.

5. И самое важное: центральная частота спектра не ноль, как во всех предыдущих примерах, а f_ц = 1/T₀, т.е. определяется частотой синусоидального заполнения (частотой несущей).

Полный амплитудный спектр приведен на рис. 3.13.

Анализируя рис. 3.13 можно понять механизм переноса спектра в ВЧ-область, реализуемый в процессе модуляции.

Исходный спектр НЧ-сигнала (см. пример 3.1) располагается в окрестности нуля частот.

Гармоническое заполнение приводит к смещению спектральных составляющих на величину f_ц, соответствующую частоте несущей. Структура спектра (амплитуды и фазы составляющих) при таком линейном переносе по частоте полностью сохраняется.

На этом основано использование ВЧ-несущей в радиосвязи: полезная информация, заложенная в структуру НЧ-сигнала (а следовательно и в структуру спектра) сохраняется, а сам сигнал является высокочастотным (его спектр располагается симметрично относительно частоты несущей f_ц) и будучи передан в антенну, порождает электромагнитные волны эффективно распространяющиеся в пространстве.

В заключение рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий важное свойство спектров, – их суперпозицию.

Пример 3.5. Пусть сигнал представляет собой последовательность импульсов сложной формы (рис. 3.14). Требуется построить его спектральную диаграмму.

Для решения задачи сначала представим исходный сигнал в виде суммы двух вспомогательных сигналов (рис. 3.15):

s_п(t) = s₁(t) + s₂(t).

Поскольку вспомогательные сигналы представляют собой последовательности прямоугольных импульсов, то их спектральные диаграммы легко получить по аналогии с примером 3.1, учитывая, изменение амплитуды и длительности.

Теперь по принципу суперпозиции получим результирующую спектральную диаграмму (рис. 3.16) как сумму спектров вспомогательных сигналов.

Примечание. Для упрощения приведен только спектр амплитуд, изменение фазовых соотношений из-за смещения импульсов не учитываем.

Рис. 3.15

Р ис. 3.16

На рис. 3.16 огибающая спектра сигнала s₁ показана штрихпунктирной линией, огибающая спектра сигнала s₂ – пунктирной линией; спектральные составляющие (гармоники) сигнала s₂ изображены сплошной линией, гармоники сигнала s₁ – утолщенной линией.