Глава 3. Формула Муавра
Муавр открыл (1707) формулу Муавра для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
Он первый стал использовать возведение в степень бесконечных рядов. Ему и Дж. Стирлингу принадлежит асимптотическое представление факториала, носящее название формулы Стирлинга.
Помимо анализа, Муавр внёс большой вклад в теорию вероятностей. Доказал частный случаи теоремы Лапласа. Провёл вероятностное исследование азартных игр и ряда статистических данных по народонаселению. Кроме нормального, он использовал равномерное распределение. Для дискретного случая использовал и глубоко исследовал последовательности, названные им рекуррентными (возвратными). Большинство результатов де Муавра были вскоре перекрыты трудами Лапласа; степень возможного влияния де Муавра на Лапласа неясна.
Член Лондонского королевского общества (1697), Парижской (1754) и Берлинской (1735) академий.
Муавра формула, формула, содержащая правило для возведения в степень n комплексного числа, представленного в тригонометрической форме
z = r (cos β + i sin β); Согласно формула Муавра, модуль r комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент β умножается на показатель степени
zn = [r (cos β + i sin β)] n = rn (cos nβ + i sin nβ) – формула Муавра
Формула Муавра была найдена А. Муавром в 1707, современная её запись предложена Л. Эйлером в 1748.
Формула Муавра может быть легко использована для выражения cos nj и sin nβ через степени cos β и sin β; положив в формуле Муавра r = 1 и приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим
cos nβ = cosn β – Сn2 cosn-2 β sin2 β + Cn4 cosn-4 β sin4 β -...,
sin nβ= Cn1 cosn-1 β sin β – Cn3 cosn-3 β sin3 β +...,
где Cnm = n!/m!(n - m)! — биномиальные коэффициенты. Обращение формулы Муавра приводит к формуле для извлечения корня из комплексного числа.
Список использованной литературы
1. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики – М., НАУКА, 1969.
2. Яглом И.И. Комплексные числа и их применение в геометрии – М., НАУКА.,1996, стр.