Ознакомление с понятием площади
Ввести и закрепить понятие площади можно при помощи фронтальной и индивидуальной работы с учениками. На доске, фланелеграфе, наборном полотне прикрепляются различные геометрические фигуры (2 квадрата, 2 круга, 2 треугольника разных размеров), у детей на партах соответствующий раздаточный материал, и проводится сравнение. Допустим, берем большой круг и маленький треугольник. Вопрос: какая фигура поместится во вторую? Покажите это. Наложением дети показывают, что треугольник поместится в середину круга. На доске тоже сначала закрепляется круг, а потом на него треугольник. Вывод: этот треугольник "часть" этого круга, значит, его площадь меньше площади круга. (Можно сказать, что площадь это место, которое занимает фигура на плоскости). Представления о площади закрепляются у детей аналогичной практической работой, а обобщение проводят по учебнику. Для закрепления понятия площади имеет смысл брать фигуры различной конфигурации и цвета, чтобы предупредить ошибку учеников (площадь имеют только прямоугольник и квадрат). Однако, спрашивать, что такое площадь у детей не стоит – понятие формируется на интуитивно-практическом уровне.
Следующим шагом будет практическая работа над фигурами, которые не вмещаются одна в другую. При выполнении этого задания нужно познакомить детей со сравнением фигур при помощи их разбиения на отдельные квадраты. На обратной стороне фигур разлинованы квадраты (одинаковые и неодинаковые). Пересчитывается их количество и делаются выводы.
Затем аналогичные упражнения выполняются по учебнику и чертежам на доске. Требуется показать случаи, когда разные по форме фигуры имеют одинаковую площадь. Упражнения: подсчитайте квадраты, входящие в данную фигуру, начертите фигуры, состоящие из ... квадратов. Эти упражнения помогают формировать понятие площади как количества квадратных единиц.
Ознакомление с квадратным сантиметром
Беседа:
– Какие единицы длины вы знаете? (см, мм, дм, м, км)
Покажите см на линейке. Запишите обозначения всех единиц, которые назвали. После этого сообщается, что для измерения площади используется единица, которая называется кв.см. Затем ученики чертят в тетради квадрат со стороной 1 см и называют его квадратным сантиметром. Площадь этого квадрата принимают за единицу измерения площади. Вводится правило записи и чтения. 5 кв.см. – 5 см2 – 5 квадратных сантиметров. После введения понятия проводится его закрепление.
Затем в квадратных сантиметрах измеряется площадь прямоугольника: измеряемый прямоугольник расчерчивается на квадратные сантиметры, и их число подсчитывается. Далее учащихся обучают правилу вычисления площади прямоугольника. При знакомстве с переместительным свойством умножения они вычисляли число квадратов, на которые разбивался прямоугольник, двумя способами: 1) определялись число квадратов, уложенных в одном ряду, и число рядов; полученные числа перемножались; 2) определялись число квадратов в столбце и число столбцов; полученные числа перемножались.
Эти способы подсчета числа квадратов в прямоугольнике применяются и для определения площади прямоугольника. Например, учитель предлагает детям такое задание: установить площадь каждого прямоугольника, изображенного на рисунке.
Выполняя его, учащиеся усваивают алгоритм вычисления площади прямоугольника: измеряется длина прямоугольника; ширина; вычисляется произведение полученных чисел; полученное число и соответствует площади прямоугольника в квадратных сантиметрах.
На данном рисунке приведены возможные варианты упражнений по определению площадей прямоугольников.
Для определения площади фигур, имеющих форму, отличную от прямоугольника, используется палетка. До введения палетки можно провести практическую работу по определению площади прямоугольников, начерченных на миллиметровой бумаге. Учитель обращает внимание детей на то, что одни неполные квадраты можно «сложить» с другими так, что они образуют квадратный сантиметр. Учащиеся убеждаются в возможности замены неполных квадратов полными: число полных квадратов составляет примерно половину числа неполных.
Правила применения палетки:
1) разместить палетку поверх фигуры так, чтобы в ней поместилось максимальное количество целых клеточек – кв. см.;
2) отдельно пересчитать количество полностью заполненных фигурой клеток и тех, которые заняты только частично;
3) умножить количество неполных клеток на 2 и сложить результат с количеством целых клеток;
4) полученный результат и будет показывать, сколько квадратных сантиметров содержится в данной фигуре, т.е. ее площадь.
Детям необходимо объяснить, что измерение площади произвольной фигуры при помощи палетки дает приближенные результаты.
После такой подготовительной работы можно предложить учащимся сделать альбом различных плоских геометрических фигур (на стандартные листы формата А5 наклеиваются плоские фигуры различной формы – многоугольники, ограниченные кривыми линиями, вырезанные из цветной бумаги) и определить площадь каждой из них.
Если потом учащиеся, сидящие за одной партой, поменяются своими альбомами и измерят площади фигур в альбомах друг друга, то можно сравнить полученные каждым учеником при измерении площади одной и той же фигуры результаты. Дальше проанализировать с учениками, почему полученные результаты могут быть разными. Причины различия в результатах могут быть не только в ошибке в подсчете клеточек, но и просто в другом расположении палетки, что ошибкой не является.
Обязательно практиковать определение площади плоских фигур, начерченных как на линованной, так и нелинованной бумаге.
Целесообразно проводить постоянное противопоставление единиц длины и площади (дети их часто путают в дальнейшем и допускают ошибки при выражении более крупных единиц площади в мелкие).
Таблица:
Данная таблица должна висеть в классе постоянно.
Еще одна ошибка учащихся – это частое подмена понятий периметра и площади фигур. Поэтому, задания по нахождению площади и периметра фигур дают вместе, противопоставляя их и сравнивая.
Для сопоставления изготавливают такую таблицу.
Важно, чтобы дети понимали, что фигуры с одинаковыми периметрами могут иметь разные площади и наоборот.
Обратите внимание на то, что сам квадратный сантиметр выступает в двух функциях – это квадрат со стороной 1 см и единица площади.
Далее учеников знакомят с квадратным дециметром. Новая единица вводится аналогично кв.см, на наглядной основе.
В тетради чертится квадрат со стороной 1 дм, его площадь принимается за 1 дм2. Квадратный дециметр разбивается на квадратные сантиметры для установления непосредственным подсчетом зависимости: 1 кв. дм = 100 кв. см. С учащимися необходимо вырезать модели см2 и дм2. Это задание можно задать на дом.
Модель квадратного метра следует разбить на квадратные дециметры, а один из квадратных дециметров – на квадратные сантиметры. Целесообразно во время практической работы на земле показать детям изображение квадратного метра. Модель квадратного метра может быть использована учителем для вывода таблицы:
После знакомства с квадратным метром проводят практические работы по вычислению площади пола классной комнаты, спортивного зала, площадки. К составленным задачам на нахождение площади прямоугольника необходимо делать чертежи. На дом можно задать учащимся сделать план их квартиры, вычислить ее общую площадь.
В дальнейшем происходит знакомство аром и гектаром.
Для конкретизации понятия ара (сотки) ученики при помощи веревок или рулетки разбивают на местности квадрат со стороной 10 м, гектар же будет 100 таких квадратов.
Затем составляется сводная таблица связи единиц площади.
С помощью таблицы можно решать задачи на кратное сравнение величин: во сколько раз 1 кв. м больше 1 кв. дм? во сколько раз 1 кв. см меньше 1 кв. м?
В связи с изучением правила вычисления площади прямоугольника появляется возможность проиллюстрировать прямую и обратную пропорциональные зависимости между величинами. Для этого можно использовать такие задания.
1. Найти площадь прямоугольника, если известны его длина и ширина:
2. Во сколько раз увеличится площадь прямоугольника, если его длина увеличится в 2 раза, а ширина не изменится? Во сколько раз уменьшится площадь прямоугольника, если ширина прямоугольника уменьшится в 4 раза, а длина не изменится? Во сколько раз площадь одного квадрата больше площади другого квадрата?
3. Найти длину (ширину) прямоугольника:
Как находили длину (ширину) прямоугольника?
4. Правильно ли составлена следующая таблица?
Как изменится ширина прямоугольника площадью 24 кв.см, если его длину уменьшить в 3 раза? Как изменится длина прямоугольника площадью 24 кв.см, если его ширину увеличить в 2 раза?
Также можно предложить упражнения следующего характера:
1. Допиши единицы измерения: площадь оконного стекла 8400...; площадь поверхности обложки книги 320...; площадь поверхности карты 4500...
2. Ученик правильно выполнил измерения, но не записал соответствующих единиц. Допиши их. а) площадь классной комнаты 24...; б) площадь поверхности стола 84...; в) площадь поверхности обложки тетради 340...
3.Найти ошибки в обозначении единиц измерения: а) площадь комнаты 14 м2;
б) площадь школьного коридора 37 м2; в) площадь листа тетради 340 м2; г) площадь школьного двора 200 дм2.
4. По плану делянки найти площадь под каждый из овощей:
5. Найти площадь участка по плану с заданным масштабом.
6. Решение обратных задач на нахождение площади.
7. Измерение площадей моделей прямоугольников.
8. Практиковать определение площадей фигур прямоугольной формы "на глаз" с последующей проверкой.
При работе над темой площадь, также должна выполняться следующая система упражнений, раскрывающая некоторые свойства понятия площади фигуры, а также подтверждающая справедливость математических законов и для значений и данной величины.
I. Упражнения, иллюстрирующие упорядоченность множества площадей фигур отношением «иметь меньшую площадь».
1. Площадь какой из фигур, изображенных на рисунке 1, меньше? Верно ли, что площадь круга меньше площади квадрата? (Свойство асимметричности отношения «меньше» на множестве площадей геометрических фигур.)
Верно ли, что площадь данного прямоугольника, изображенного на рис.2, меньше площади этого же прямоугольника? (Свойство антирефлексивности отношения «меньше» на множестве площадей геометрических фигур.) Сравните площади фигур.
Наложением фигур друг на друга дети устанавливают, что площадь квадрата меньше площади круга, а площадь круга меньше площади прямоугольника. Учащиеся убеждаются также, что площадь квадрата меньше площади прямоугольника. Учитель подводит итог этой работы: «Так как площадь квадрата меньше площади круга, а площадь круга меньше площади прямоугольника, то площадь квадрата меньше площади прямоугольника».
II. Упражнения, приводящие к понятию площади фигуры.
1. На сколько квадратных сантиметров площадь квадрата со стороной 3 см меньше площади квадрата со стороной 5 см? (Существование разности площадей.)
III. Упражнения, иллюстрирующие переместительное свойство сложения площадей фигур.
Чему равна площадь фигуры?
Учитель вместе с учащимися составляет выражения:
2-5+3-3 (кв. см) – площадь данной фигуры;
3 • 3 + 2 • 5 (кв. см) – площадь этой же фигуры. В результате вычислений устанавливается, что 2 • 5 + 3 • 3 = 3 • 3 + 2 • 5.
Решение этих задач подтверждает свойство переместительности сложения в множестве площадей фигур.
IV. Упражнения, иллюстрирующие сочетательное свойство сложения площадей фигур.
Определить площадь фигуры различными способами. Одному из способов соответствует выражение (3×3+3×1) + 4×3 (кв. см), другому – 3×3 + (3×1 + 4×3) (кв. см.).
Вычисляя значения этих выражений, учащиеся устанавливают, что сложение величин ассоциативно.
V. Задания, иллюстрирующие свойство монотонности сложения в множестве площадей фигур.
Найти площадь фигуры несколькими способами. Сравнить площадь всей фигуры с частью площади этой же фигуры.
В результате непосредственного счета квадратов, из которых состоит данная фигура, учащиеся устанавливают, что площадь фигуры равна (6+4) кв. см. С помощью чертежа подтверждается истинность неравенств: (6+4)>4 и (6+4)>6. (Свойство монотонности сложения в системе площадей)
VI. Задачи, неявно вводящие следующее свойство площади фигуры: площадь фигуры можно делить на любое число п одинаковых частей.
Измерение площади фигуры с помощью палетки свидетельствует о том, что любую площадь можно делить на несколько одинаковых частей.
VII. Измерить площадь обложки учебника «Математика» в квадратных дециметрах и квадратных сантиметрах. Сравнить результаты измерения.
Учащиеся убеждаются, что площадь обложки удобнее измерять в квадратных сантиметрах.
МЕТОДИКА ЗНАКОМСТВА СО ВРЕМЕНЕМ
План изучения темы и время введения.
1. 2 класс – сутки, час, минута, секунда, решение задач.
2. 3 класс – таблица единиц времени, век.
Задачи изучения темы.
1. Познакомить учеников с единицами времени и их отношениями.
2. Научить узнавать время по часам.
3. Сформировать умение выполнять действия с единицами времени.
4. Научить решать задачи по теме.
Задолго до поступления в школу дети знакомятся с такими мерами времени, как час, минута, дни недели, сутки, месяцы года. При первом знакомстве с понятием времени учитель должен уточнить представления учащихся о следующих отношениях: «старше», «моложе»; «раньше», «позже»; «сначала», «потом»; «вчера», «сегодня», «завтра», «послезавтра».
Известно, что понятие продолжительности события в нашем восприятии субъективно. Когда мы ждем, время тянется медленно, если куда-то опаздываем – очень быстро. Временные представления у детей развиваются произвольно, в процессе долговременных сопоставлений, практического опыта, изучения других величин. В детском саду они знают, когда пора идти в сад, завтракать, обедать, идти на прогулку и т.д. знают наизусть названия дней недели, месяцев, имеют представления о смене дня и ночи.
В 1 классе на изучение темы "Время" часов не отводится, но учитель должен продолжать формировать представления о времени у учеников. В дочисловой период выяснить, кто из детей уже умеет пользоваться часами, уточняется режим дня. В процессе обучения закрепляется последовательность дней недели, месяцев, знакомятся с понятиями вчера – сегодня – завтра – послезавтра, сравнивают временные промежутки перемена – урок, занятия в школе – рабочий день родителей и т.д.
В 1 классе знакомятся с календарем, это необходимо для наблюдения за природой. До 2 класса ученики должны уметь определять время по часам с точностью до часа.
Во 2 классе знания, полученные в 1 классе уточняются, систематизируются и расширяются. Происходит знакомство с такими единицами измерения: год, месяц, неделя, сутки, час, минута, секунда. О каждой единице времени должны быть сформированы четкие представления, об их отношениях тоже. Дети должны пользоваться часами, календарем. Уметь использовать табель-календарь и круговую схему. Дети должны видеть различные виды календарей – настольные, отрывные, перекидные и т.д. При их помощи дети устанавливают последовательность месяцев, их продолжительность, названия месяцев по временам года. При помощи табеля-календаря дети находят, на какой день недели приходятся праздники, дни рождений, подсчитывается количество дней каникул и т.д.
При объяснении темы "Год" необходимо использовать теллурий. При помощи теллурия можно показать, что за время, за которое Земля обходит вокруг Солнца 1 раз, Луна обходит вокруг Земли 12 раз. Объяснить, почему бывает день и ночь, что такое сутки, месяц, год. Учитель объясняет, что Земля обходит вокруг Солнца за 365 суток и приблизительно 6 часов. Для удобства счета 3 года называют обычными, а четвертый – високосным. В этом году больше на 1 день.
Для подсчета числа дней в простом и високосном годах можно по табелю-календарю составить числовые выражения и найти их значения: 28 + 30 • 4 + 31 • 7 и 29 + 30 • 4 + 31 • 7. В этих записях 28 и 29 – число дней в феврале, 30 • 4 – количество дней в 30-дневных месяцах, 31 • 7 – количество дней в 31-дневных месяцах.
Также с помощью табеля-календаря устанавливается число месяцев в году, число дней в неделе, число недель в году.
По числу недель в году можно также установить число дней в простом и високосном годах: 7×52+1, 7×52+2.
Понятие суток раскрывается через знакомые детям понятия частей суток – утро, день, вечер, ночь. Кроме того, развиваются представления часовой последовательности – вчера, сегодня, завтра, послезавтра. Детям предлагается рассказать, что они делали от вчерашнего утра до сегодняшнего, что будут делать от сегодняшнего вечера до завтрашнего и т.д. "Такие промежутки времени называют сутками" – сообщает учитель. "Сутки – это промежуток вращения Земли вокруг себя".
Дети устанавливают, сколько суток проходит от вчерашнего до завтрашнего вечера и т.д.
Следующими единицами времени, которые изучаются, являются час, минута, секунда. Конкретные представления об этих единицах времени также формируются на практической основе, на основе сопоставления. Так, час – приблизительно продолжительность одного урока и перемены. При изучении минуты и секунды целесообразно применить ряд практических упражнений.
Например:
1. Вспомните, сколько слов каждый из вас прочитал за минуту во время проверки техники чтения.
2. Запишите подряд числа от 1 за 1 минуту, 1 секунду.
3. Решить примеры за 1 минуту.
4. Посчитать, сколько шагов можно сделать за 1 минуту, за 1 секунду.
На этом же уроке сообщается об отношении между единицами времени:
1 сутки – 24 часа, 1 час – 60 минут, 1 минута – 60 секунд.
Важным моментом на данном этапе является работа с часами. На уроках труда с детьми должны быть изготовлены циферблаты, которые и будут использоваться при практическом изучении часов. Обязательно вспомнить, какими бывают часы (солнечные, цветочные, песочные, механические, электронные).
Учащиеся учатся определять время по циферблатным часам. Им объясняется устройство циферблата, назначение стрелок; ученики приобретают навыки «чтения»: сколько часов и сколько минут показывают стрелки в данный момент.
Для прочного усвоения отношения 1 ч = 60 мин нужно использовать циферблатные часы. Дети должны внимательно рассмотреть циферблат, четко представлять себе какие деления используются на циферблате, что означает каждое из делений. Работу можно провести в виде беседы.
– На сколько равных частей разделен циферблат часов числами, проставленными на них? (На 12 равных частей).
– Сколько минут проходит при переходе большой стрелки часов от одного числового деления до другого? (Пять минут).
– Как узнать, сколько минут в одном часе? (5×12).
Выражение 5×12 помогает учителю закрепить отношение между часом и минутой.
Итак, нужно выяснить, какое время проходит при движении каждой из стрелок по кругу между различными видами делений (маленькая – часовая стрелка, большая – минутная). Учитель объясняет, что все часы сделаны так, что пока большая стрелка движется от одного маленького деления до другого, проходит минута, а пока маленькая стрелка движется от одного большого деления до другого проходит час. Отсчет времени ведется от полночи до полудня или от полудня до полночи. Потом ученики учатся: а) называть время, которое показывают часы, читают время по-разному (без 15 пять, четыре часа 45 минут и т.д.); б) при помощи циферблата откладывают заданное время; в) решают задачи на нахождение продолжительности события (в пределах суток).
Для иллюстрации понятия «сутки» можно использовать такие примеры: сутки – это время, прошедшее от начала уроков в школе вчера и до начала уроков в школе сегодня, это время от одной передачи «На добраніч, діти» до другой и т.д.
Следующая единица времени - век или столетие (3 класс), в этом же классе учеников знакомят с римскими обозначениями на циферблате.
При введении понятия века можно вспомнить о долгожителях среди людей, животных, деревьев. На координатном луче показывается отсчет веков от начала летоисчисления до настоящего времени. Координатным лучом можно иллюстрировать решение простых задач.
1. Сколько лет в 12 веках?
2. К какому веку относится событие, которое произошло в 1812 г.?
3. В каком году начался и когда окончился XX в.?
Для закрепления понятия столетия вводятся следующие упражнения, например: Пушкин умер в 1837 г. В каком столетии это было? Сначала на основе отношения 1 век = 100 лет устанавливают: сколько лет в 3 (5, 7) столетиях; сколько столетий составляют 800 лет, 2000 лет и т.д.; сколько полных столетий составляют 387 лет, 1024 года. Ответы на вопросы можно иллюстрировать "лентой времени"
Единицы мер времени сводятся в соответствующую таблицу. Этой таблицей учащиеся пользуются для перевода единиц времени.
Важно!
Соотношение единиц времени отличается от соотношения единиц других величин (переходы не десятичные), поэтому таблица соотношений единиц времени должна висеть в классе постоянно, упражнения на сложение и вычитание значений величин должны даваться в сравнении.
Упражнения:
3600 с. = ...мин
Рассуждение:
1 мин.=60с.,
3600:60=60 (мин.) (Выясним, сколько по 60 вмещается в числе 3600). После усвоения таблицы можно переходить к изучению правил сложения и вычитания и к решению несложных заданий, содержащих действия над числами, обозначающими время.
I этап – рассматриваются случаи, когда сумма минут (секунд) меньше, чем 60, а сумма часов меньше 24.
+ 5 сут. 3ч.
7 сут. 17 ч.
II этап – рассматриваются случаи с переходом через разряд.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ИМЕНОВАННЫМИ ЧИСЛАМИ
При преобразовании одних единиц величины в другие, у учащихся могут возникнуть следующие проблемы, на предупреждение которых нужно обратить внимание. Одна и та же величина может иметь различные числовые характеристики в различных единицах, т.е., например, как может быть, что длина класса 7 м, 70 дм, 700 см. Числа разные, но они характеризуют одну и ту же величину – длину класса. Трудность возникает при выполнении преобразований: 5 грн. =500 к., 200 см =2 м (название более крупной меры ставится рядом с меньшим числом).
При выполнении преобразований учащиеся чаще всего допускают такие ошибки:
1) при замене крупных мер мелкими: 4 км 85 м = 485 м (пропущен нуль); 78 м 5 дм =7 805 дм (вставлен лишний нуль); 35 грн. 7 к.=3 570 к. (нуль стоит не на месте); 35 км 386 м =35 386 км; 3 кг 85 г=3085 км (неверно записано наименование); 4 грн. 70 к. = 470 (результат не имеет наименования);
2) при замене мелких мер крупными: 28 746 к.=28 грн. 746 к.;
8 050 г = 80 кг 50 г или 805 кг 0 г (неумение вычленить из числа нужные разряды); 387 м=3 кг 87 м, 2308 кг=2 грн. 308 к.= 23 грн. 08 к. (неправильная запись наименований); 785 ц =7 кг 85 ц (нарушение порядка наименований); 280 км×2 = 5600 кв. м =56 кг (случайная запись наименований).
Особое внимание следует обратить на запись чисел, полученных от измерения с пропущенными разрядами, например таких: 3 гривни 7 копеек. В связи с этим примером необходимо вспомнить, что в 1 грн. содержится 100 к., в 3 грн. – 300 к.. В результате устанавливается, что в числе 3 грн. 7 к. пропущен разряд десятков (7 к. – это единицы) и вместо пропущенного разряда следует вписывать нуль. 3 грн. 07 к. Такая запись предотвратит возможные, часто встречающиеся ошибки (3 грн. 7 к.=37 к.) при замене крупных мер мелкими и при выполнении действий (3 грн.7 к.+4 грн.8 к.=8 грн. 5 к.).
Следует сопоставить запись многозначных чисел и чисел, полученных от измерения величин такого вида: 3 грн. 07 к. и 307, 5 кг 056 г и 5056, 8т 005 кг и 8005, 10250 и 10 тыс. 250 ед., 10250 м и 10 км 250 м.
Полезны такие задания:
Сколько всего единиц тысяч в числе 27 245?
Вставь пропущенные числа: 45 ед.=… дес. … ед., 45 см = ... дм ... см.
Замени мелкие меры крупными: 3745 к.= ..., 185 см =..., 3075 г =... .
Вставь пропущенные числа: 10 м 45 см =... см, 3 т 405 кг = ... кг.
Сравни: 4 500 м ... 4 км 50 м, 7 т 5 ц ... 7 т 500 кг, 3 800 к. ... 380 грн.
Поставь нужные наименования: 1 . .. = 1 000 ...., 1 ... = 100 ....