2° Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Чтобы доказать это свойство, рассмотрим четырехугольник A1D1CB, диагонали которого А1С и D1B являются диагоналями параллелепипеда ABCDAlB1C1D1 (см. рис. 37, а). Так как А1D1||ВС и A1D1=BC, то A1D1CB — параллелограмм. Поэтому диагонали A1C и D1B пересекаются в некоторой точке O и этой точкой делятся пополам.

Далее рассмотрим четырехугольник AD1C1B (рис. 37, б). Он также является параллелограммом , и, следовательно, его диагонали АС1 и D1B пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали D1B является точка О.Таким образом, диагонали A1C, D1B и АС1 пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Наконец, рассматривая четырехугольник A1B1CD (рис. 37, в), точно так же устанавливаем, что и четвертая диагональ DB1 параллелепипеда проходит через точку О и делится ею пополам.

Билет №3.

1. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема ( признак) параллельных прямых.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство.

Рассмотрим прямую а и точку М, не лежащую на этой прямой (рис. 11). Через прямую а и точку М проходит плоскость, и притом только одна (п. 3). Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т.е. должна лежать в плоскости α. Но в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. На рисунке 11 эта прямая обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а. Теорема доказана.

2. Двугранный угол – фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Угол между пересекающимися плоскостями – линейный угол двугранного угла. Чтобы измерить двугранный угол, необходимо отметить на ребре двугранного угла какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки провести луч перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейный угол двугранного угла.

Билет №4.

1. Т еорема

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.   

Доказательство:

Р ассмотрим углы О и О₁ с соответственно сонаправленными сторонами и докажем, что угол O равен углу O₁.    Отметим на сторонах угла О какие-нибудь точки А и В и отложим на соответственных сторонах угла О₁отрезки О₁А₁=ОА и 0₁В₁=ОВ (рис. 25).    Четырехугольник ОО₁А₁А — параллелограмм, так как противоположные стороны OA и O₁A₁параллельны и равны. Отсюда следует, что АА₁||00₁ и AA₁=OO₁. Аналогично четырехугольник OO₁BB₁ — параллелограмм, поэтому ВВ₁||00₁ и ВВ₁=ОО₁ Так как АА₁||ОО₁ и BB_l||00₁, то по теореме о трех параллельных прямых АА₁||ВВ₁. Кроме того, АА₁=00₁=ВВ₁. Таким образом, в четырехугольнике АВВ₁А₁противоположные стороны АА₁ и ВВ₁ параллельны и равны. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм, и значит, стороны АВ и А₁В₁ равны. Сравним теперь треугольники АОВ и A₁O₁B₁. Они равны по трем сторонам, и поэтому угол O равен углу O₁ Теорема доказана.

Угол между прямыми

Любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла. Если известен один из этих углов, то можно найти и другие три угла (рис. 26, а). Пусть α — тот из углов, который не превосходит любой из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен α.

Введем теперь понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть АВ и CD — две скрещивающиеся прямые (рис. 27, А). Через произвольную точку М1 проведем прямые А1В1 и C1D1, соответственно параллельные прямым АВ и CD (рис. 27, б).

Если угол между прямыми A1B1 и C1D1 равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен φ.

Билет №5.