4.2 Содержание типового расчета

В каждом варианте исходных данных для расчета приведены результаты серии независимых равноточных экспериментов по изучению зависимости одной величины (Y) от другой (X) (например, зависимости предела прочности σ_B [кг/мм²] от диаметра зерна D [мкм] рекристаллизованного металла; зависимости удельного электросопротивления ρ [мк · Ом · см] от содержания добавки магния q [%] к двойному сплаву Al – Si; зависимости твердости по Виккерсу HV от времени старения τ [час] дуралюмина). Для каждого значения аргумента x_iвеличина функции Y_{i j} определена по результатам испытаний нескольких n_i образцов. Разброс значений функции при одном и том же значении аргумента объяснятся наличием случайных ошибок измерения или влиянием посторонних факторов, не учитываемых в данном исследовании.  По приведенным исходным данным требуется:  – построить линейную и квадратичную регрессионные модели;  – проверить адекватность построенных моделей в предположении о нормальном распределении результатов эксперимента;  – принять решение о выборе модели регрессии или о продолжении исследований.

4.3 Пример выполнения типового расчета

4.3.1 Первичная обработка результатов экспериментов

Для каждого значения аргумента x_i, приведенного в исходных данных, вычислить среднее значение функции   и эмпирическую дисперсию S_i² (i = 1, 2, ..., L). Используя результаты всех измерений, найти сводную оценку дисперсии (4.18), характеризующую дисперсию каждого отдельного измерения, и сводную оценку среднего квадратического отклонения.  Расчет производится по формулам (3.3), (3.5). Для удобства расчетов каждой эмпирической дисперсии S_i² результаты экспериментов Y_{i j} в одной и той же точке x_i кодируют, т.е. преобразуют по линейной формуле (4.22):

Yi j = ci + hUi j ; ­ ­­Ui j = (Yi j – ci ) / h; ­(j = 1, 2, ... ni ),

(4.20)

где c_i – число, расположенное приблизительно посередине интервала значений величин Y_i1, Y_i2, ..., Y_in, а масштабный коэффициент h выбирают так, чтобы числа u_{i j} имели по возможности меньше значащих цифр (например, были целыми взаимно простыми числами).  При этом формулы (3.7) – (3.8) приводятся к следующему виду:

(4.21)

(4.22)

Результаты расчета оформляются в табличном виде.

Задача 1. В первых двух столбцах табл. 1 приведены результаты экспериментов. Провести первичную обработку этих результатов. Найти сводную оценку дисперсии и сводную оценку среднего квадратического отклонения. 

Таблица 1. Исходные данные и результаты расчета (к задаче 1)
xi	Yi j	ni	ci	Ui j	∑Ui j
1	2	3	4	5	6	7	8
1	2,0 ­ 1,8 ­ 2,2	3	2,0	0 –2 2	0	0	2,0
3	4,3 ­ 4,0 ­ 4,0	3	4,0	3 0 0	3	1	4,1
5	6,2 ­ 6,0 ­ 6,1 ­ 5,7	4	6,1	1 –1 0 –4	–4	–1	6,0
7	6,9 ­ 6,8 ­ 7,3 ­ 7,0	4	7,1	–2 –3 2 –1	–4	–1	7,0
14	4,0 ­ 3,8 ­ 4,2	3	4,0	0 –2 2	0	0	4,0

Решение. В столбце 3 табл. 1 запишем числа n_i измерений значений функции Y при данном значении аргумента х; в столбце 4 – выбранные значения c_i ; в столбце 5 – кодированные значения результатов измерений U_{i j} , при этом масштабный коэффициент в формуле (4.21) выбран h = 0,1. В столбце 6 записаны суммы кодированных значений U_{i j} по строке; в столбце 7 – кодированные средние  ; в столбце 8 – средние  .  Для расчета эмпирических дисперсий по формуле (4.22) в столбце 9 запишем квадраты кодированных значений U_{i j} , в столбце 10 – суммы этих квадратов по строке; в столбце 11 – числа степеней свободы k_i; в столбцах 12 и 13 – результаты расчета эмпирических дисперсий (табл. 2). 

Таблица 2. Результаты расчета (к задаче 1)
xi	Uij2	∑Uij2	ki	kiSi2	Si2
1	9	10	11	12	13
1	0 4 4	8	2	8·10–2	4·10–2
3	9 0 0	9	2	6·10–2	3·10–2
5	1 1 0 16	18	3	14·10–2	4,7·10–2
7	4 9 4 1	18	3	14·10–2	4,7·10–2
14	0 4 4	16	2	8·10–2	4·10–2
∑	–	–	12	50·10–2	–

В последней строке табл. 2 запишем суммы по столбцам 11 и 12 (по индексу i ) для расчета сводной оценки дисперсии (см. формулу (2.15)): S ²_СB = 0,1² · 50/12 = 0,04167, S_СB =  = 0,204.