2. Каноническое разложение составного числа.

В разложении числа a на простые сомножители, некоторые из них могут повторяться. Если простой сомножитель в разложении (2) повторяется k раз, то его называют k  кратным множителем числа a, или говорят, что множитель имеет кратность k. Обозначим символами (m  n) разные простые сомножители в разложении (2). Пусть множитель p , имеет кратность k . Тогда разложение числа a в произведение сомножителей можно записать так:

a = .

Это представление числа называют каноническим разложением числа a на простые сомножители, или каноническим представлением числа a.

Поскольку число a можно единственным способом записать в виде произведения простых чисел, то и каноническое представление числа a единственно.

П р и м е р. Каноническим разложением числа 588000 будет:

588000 = 2 3 5 7 .

Докажем теперь несколько теорем, которые касаются делителей чисел, а также наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного нескольких чисел.

Теорема 7. Если a =  каноническое разложение числа a, то множество всех делителей этого числа совпадает с множеством чисел вида

d = , (3)

где 0  s  k , i = 1, 2, . . . , m.

Д е й с т в и т е л ь н о, очевидно, что всякое число d вида (3) является делителем числа a. Наоборот, если d является делителем числа a, то a = dq, где q  некоторое натуральное число. Поскольку для a существует только одно каноническое разложение, то из равенства a = dq вытекает, что в каноническое разложение числа d могут входить только простые числа , причем их степени не могут быть выше, чем Поэтому каноническое разложение d имеет вид (3).

П р и м е р. Все делители числа 720 = 2 3 5 получим, если в выражении заставим показатели степеней независимо друг от друга пробегать значение = 0, 1, 2, 3, 4, = 0, 1, 2 и = 0, 1. Поэтому указанными делителями будут: 1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48, 9, 18, 36, 72, 144, 5, 10, 20, 40, 80, 15, 30, 60, 120, 240, 45, 90, 180, 360, 720  всего ( + 1)( + 1)( + 1) делителей.

Теорема 8. Наибольшим общим делителем нескольких чисел a, b, c, . . . , f является число (произведение степеней) вида , где общие простые делители всех этих чисел , a , i = 1,2,...,s  наименьшие из показателей, с которыми каждое с входит в канонические разложения этих чисел.

Теорема 9. Совокупность общих делителей нескольких чисел совпадает с совокупностью делителей их наибольшего общего делителя.

Д е й с т в и т е л ь н о, пусть d  общий делитель чисел . Тогда имеют место равенства вида , которые показывают, что: a) всякий простой делитель p числа d должное быть и делителем каждого из чисел , а также что: б) этот делитель p должный входить в каноническое разложение числа d с показателем, который не превосходит наименьшего из тех, из которым он входит в канонические разложения чисел . Обратно, каждое d, что удовлетворяет условиям a) и б), очевидно, является общим делителем чисел .

Общим наибольшим делителем, то есть наибольшим из общих делителей (определения 1, Л-2) является тот с последних, в каноническом разложении которого показатели степеней простых чисел равняются наименьшим из тех, с которыми эти простые числа входят в канонические разложения чисел .

Остается лишь отметить, что всякий общий делитель, который имеет в каноническом разложении все показатели, которые не превосходят показателей в каноническом разложении наибольшего общего делителя, является делителем последнего.

П р и м е р . Наибольший общий делитель чисел 6791400 = = , 178500 = 2 3 5 7 17 и 27720 = 2 3 5 7 11 равняется (6791400, 178500, 27720) = 2 3 5 7 = 420.

Теорема 10. Наименьшим общим кратным нескольких чисел a, b, c, . . . , f является число (произведение степеней) вида , где  простые делители по меньшей мере одного из этих чисел, a показатели степеней , i = 1, 2, ..., s  наибольшие из показателей, с которыми каждое с входит в канонические разложения этих чисел.

Теорема 11. Наименьшее общее кратное нескольких попарно простых чисел равняется их произведению.

Теорема 12. Совокупность общих кратных нескольких чисел совпадает с совокупностью кратных их наименьшего общего кратного.

Д е й с т в и т е л ь н о, пусть М  общее кратное чисел . Тогда имеют место равенства вида M = , ..., М = , которые показывают, что а) всякий простой делитель p каждого из чисел должен быть и делителем числа М, а также, что б) этот делитель p должный входить в каноническое разложение числа М с показателем, не меньшим наибольшего из тех, с которыми он входит в канонические разложения чисел . Обратно, каждое М, подчиненное условиям а) и б), очевидно, является общим кратным чисел .

Наименьшим общим кратным, т.е наименьшим из общих кратных (по определению), является то из последних в каноническом разложении которого показатели степеней простых чисел точно равняются наибольшим из тех, с которыми эти простые числа входят в канонические разложения чисел . В случае, когда  попарно простые, каждый множитель вида p канонического разложения наименьшего общего кратного входит в каноническое разложение одного и только одного из чисел . Наименьшее общее кратное последних, очевидно, равняется их произведению.

Всякое общее кратное, как то, что имеет в своем каноническом разложении все показатели, не меньшие соответствующих показателей в каноническом разложении НОК, будет кратным последнего.

П р и м е р . НОК чисел 1800 = 2 3 5 , 3780 = 2 3 5 7, 8910 =

= 2 3 5 11 равняется [1800, 3780, 8910] = 2 3 5 7 11 = 247000.

1 Эратосфен Киренский (ок. 276-194 до н. э.)  древне-греческий ученый. Заложил основы матем. географии. Труды по математике (теории чисел), астрономии, филологии, философии, музыки. От сочинений Э. Киренского до нашего времени дошли лишь отрывки.

6