4. Виробнича функція Кобба – Дугласа

Ряд економічних показників моделюється за допомогою функції, що є композицією перерахованих функцій, що дозволяє також звести їх до лінійних. Найчастіше дана модель використовується при аналізі виробничих функцій.

Нехай Y - обсяг виробленої продукції, F - фінансові витрати, L - вартість робочої сили. Функцію Y = ậ₀ F ^ậ1 L ^ậ2, 0 < ậ₁ <1, 0 < ậ₂ <1 (10) називають виробничою функцією Кобба - Дугласа. У загальному вигляді права частина рівності може містити більшу кількість факторів.

Дана функція шляхом логарифмування (ln е^аt = аt) зводиться до лог-лінійної моделі. Значення статистичних оцінок параметрів ậ₀, ậ_1, ậ₂ функції одержимо шляхом логарифмування

ln Y = ln ậ₀ + ậ₁ lnF + ậ₂ lnL + и (11)

Тут ậ_1, ậ₂ - еластичності випуску за витратами капіталу й праці відповідно. Сума цих коефіцієнтів є таким важливим економічним показником, як віддача від масштабу:

• при ậ_{1 +} ậ₂ = 1 говорять про постійну віддачу від масштабу (у скільки разів збільшуються витрати ресурсів, у стільки ж раз збільшується випуск);

• при ậ₁ + ậ₂ < 1 має місце спадна віддача від масштабу (збільшення об'єму випуску менше збільшення витрат ресурсів);

• при ậ_{1 +} ậ₂ > 1 — зростаюча віддача від масштабу (збільшення об'єму випуску більше збільшення витрат ресурсів).

Основні наслідки мультиколінеарності:

1. падає точність оцінок параметрів, яка виявляється в зростанні помилок деяких оцінок, в значному збільшені дисперсії оцінок параметрів;

2. оцінки деяких параметрів стають незначущими;

3. оцінки деяких параметрів стають чутливими до обсягів сукупності спостережень.

Тому при побудові економетричної моделі потрібно визначити існування мультиколінеарності та усунути її.

1. Дослідження наявності мультиколінеарності

Якщо в регресії присутнє явище мультиколінеарності, то не виконується умова і для строгої мультиколінеарності неможливо отримати оцінки параметрів моделі регресії за МНК, а у випадку нестрогої мультиколінеарності оцінки будуть мало надійними: незначні зміни вибіркових даних призводять до значних змін оцінок параметрів.

Ознаки мультиколінеарності

Інформацію про парну залежність факторів моделі надає симетрична матриця коефіцієнтів парної кореляції (кореляційна матриця):

У масиві пояснюючих змінних можлива наявність мультиколінеарності, якщо

• серед парних коефіцієнтів кореляції пояснюючих змінних є такі, що за своєю величиною наближаються до множинного коефіцієнта кореляції, який прямує до 1;

• значення det r (точкова міра рівня мультиколінеарності) наближається до 0:

якщо det r =0, то існує повна мультиколінеарність,

якщо det r =1, то мультиколінеарність відсутня;

• в економетричній моделі розраховано мале значення параметра а_k вразі існування високого рівня коефіцієнта кореляції;

• включення до моделі нової пояснюючої змінної істотно змінює оцінки параметрів моделі за незначної зміни (підвищення або зниження) коефіцієнтів детермінації чи кореляції.

Взагалі для визначення лінійної структури регресії корисно будувати кореляційну матрицю, яка буде складатися із факторів моделі і залежної компоненти: регресія має враховувати ті змінні, які мають суттєвий вплив на залежний фактор і не корегують між собою.

Вразі існування мультиколінеарності факторів доцільно звернути увагу і на специфікацію моделі. Іноді заміна однієї функції іншою, яка не суперечить інформації, дозволяє усунути мультиколінеарність.

У випадку дослідження економетричних моделей із великого кількісно факторів, коли не вдається позбутися мультиколінеарності, параметри моделі оцінюють методом головних компонент .

Економетричні моделі і системи одночасних структурних рівнянь