3. Нелінійні регресії 2-го класу

3.1. Показникова моделі

Модель Y = ае^βх (4) досить широко застосовується в економетричному аналізі. Найбільш важливим її застосуванням є ситуація, коли аналізується зміна фактора Y із постійним темпом приросту в часі: X символічно заміняється змінною t: Y = а е^βt.

3.2. Степенева модель

Нехай деяка економічна залежність моделюється формулою Y = а₀ Х ^а1, (5)

де а₀ і а₁ - параметри моделі, що підлягають визначенню. Ця функція може характеризувати:

• залежність попиту Y на благо від його ціни X (у цьому випадку (а₁ < 0) або від доходу X (у цьому випадку а₁ > 0); при такій інтерпретації змінних X і Y функція (1) називається функцією Енгеля)

• залежність обсягу випуску Y від використання ресурсу X (виробнича функція), 0 < а₁ < 1.

Модель (5) не є лінійною функцією відносно X (похідна залежної змінної Y по X, що вказує на зміну Y щодо зміни X, буде залежати від X: ), тобто не буде константою, що властиве тільки нелінійним моделям. Стандартним і широко використовуваним підходом до аналізу функцій даного роду в економетриці є логарифмування за експонентою е .

Прологарифмувавши обидві частини (1), маємо: 1п Y =1па + β lnX.

Після заміни 1пА = β_о модель (2) прийме вигляд 1п Y = β_о + β₁ lnX. (6)

З метою статистичної оцінки коефіцієнтів додамо в модель випадкову похибку ε й одержимо так звану подвійну логарифмічну модель (і залежна змінна, і пояснююча змінна задані в логарифмічному вигляді): 1п Y = β ₀ + β ln Х + и (6*)

Дане рівняння є лінійним відносно 1пХ і 1п Y, а також щодо параметрів β₀ і β. Вводячи заміни Y* = 1п Y і Х* = 1пХ, (4) можна переписати у вигляді: Y* = β _о + β Х* + и. (7)

Модель (7) є лінійною моделлю. Якщо всі необхідні передумови класичної лінійної регресійної моделі для (7) виконані, то за МНК («ЛИНЕЙН») можна визначити незміщені оцінки коефіцієнтів β_о і β. Але при цьому коефіцієнт детермінації розраховується не для фактичних змінних Y і Х, а для їх логарифмів. Тобто для оцінювання якості розрахованої моделі потрібно додатково розрахувати коефіцієнти детермінації:

№ п/п	Х	Y	Y-	(Y- )2
Σ						→ 0

R² = 1- = , D_у = , = .

Коефіцієнт β є константою, яка характеризує сталу, тобто процентну зміну Y для даної процентної зміни X. Тому найчастіше подвійна логарифмічна модель називається моделлю постійної еластичності.

Дана модель легко узагальнюється на більшу кількість змінних. Наприклад,

1п Y = β₀ + β₁ lnX₁ + β ₂ lnX₂ + ε. (9)

Тут коефіцієнти β₁, β₂ є еластичностями змінної Y за змінними X₁ і Х₂ відповідно.