Нелінійні моделі

Використання лінійних моделей для моделювання економічних залежностей у багатьох випадках дають цілком за­довільні результати, які можуть бути використані для аналізу й прогнозу досліджуваних економічних систем (процесів). Але внаслідок багатогранності й складності за своєю структу­рою економічних процесів обмежуватися розглядом лише ліній­них моделей стає неможливим, оскільки економічні залежності переважно не можуть бути описані лінійними рівняннями.

• Так, наприклад, якщо досліджується залежність попиту на пев­ний товар Y від ціни X на нього, то можна обмежитися лінійними залежностями у вигляді рівнянь регресії Y_р= â₀ + â_1·Х, де коефіцієнт â_1· буде характеризувати абсолютну зміну в серед­ньому попиті Y при зміні ціни на нього X на одиницю.

• Якщо ж метою дослідження є аналіз еластичності залеж­ності попиту від ціни, то описати лінійним рівнянням співвідношення між змінними Y та X виявляється неможливим. У цьому випадку доцільно використати модель типу Y = a₀ Х ^а1 , яка після логарифмування набирає вигляду ln Y = ln a₀ + a₁ ln Х.

• При аналізі витрат Y від обсягу виробництва X буде поліноміальна модель Y = â₀ + â_1·Х + â_2·Х ² + â_3·Х ³ +…+ â_m·Х^m

• Для дослідження виробничих функцій використання лінійних моделей взагалі є нереальним. В цьому випадку використовується виробнича функція Кобба – Дугласа. Нехай Y - обсяг виробленої продукції, F - фінансові витрати, L - вартість робочої сили, тоді Y = a F^α L ^β, 0 < α<1, 0< β<1.

• Широкого використання в сучасній економетрії набули обер­нені й експоненціальні моделі.

Розрізняють два класи нелінійних регресій:

1) нелінійні регресії 1-го класу (квазілінійні) – нелінійні щодо пояснюючих, незалежних змінних моделі, але лінійні відносно параметрів (коефіцієнтів) моделі

2) нелінійні регресії 2-го класу – нелінійні щодо параметрів (коефіцієнтів) моделі.

2. Нелінійні регресії 1-го класу

2.1. Поліноміальна модель

Степенева функція виду Y = а₀ + а₁ Х₁ + а ₂ Х ² + ... + а _т Х ^т + u (1)

часто характеризує ту чи іншу економічну залежність. Модель (1) можна звести до лінійної регресійної моделі. Заміняючи X на Х₁ , X² на Х₂, ..., Х_т на Х^т, одержимо замість (1) модель множинної лінійної регресїі із т змінними Х₁, Х₂, …, Х_т :

Y = а₀ + а₁ Х₁ + а₂ X₂ + ... + а _mX_m + u, (2)

параметри якої знаходяться за МНК ( за допомогою статистичної функції «ЛИНЕЙН»).

При цьому для оцінювання тісноти лінійного зв’язку можна використовувати лінійний коефіцієнт кореляції.

2.2. Гіперболічна модель

Гіперболічна модель у загальному випадку має та­кий вигляд: Y = a₀ + a₁ · + u. (3)

Модель (3) можна звести до лінійної регресійної моделі. Для всіх значень індексу і = 1,.., n рівняння у векторно-матричній формі набере вигляду Ŷ= ZÂ + Û, заміняючи 1/X на Z.

Графіки гіперболічних моделей визначаються знаками параметрів ậ₀ , ậ₁ (функції Філліпса, Торнквіста).