Кратные интегралы

Пусть непрерывная функция задана на замкнутом, интегрируемом по Жордану, множестве в плоскости и пусть - произвольное разбиение множества на ячейки с мерой (площадью) . Диаметром ячейки назовем максимальное расстояние между точками множества . Выберем в каждой ячейке произвольную точку и составим интегральную сумму

.

Возьмем предел данной интегральной суммы при стремлении максимального диаметра ячеек к нулю. Этот предел, если он существует и конечен, не зависит от разбиения и от выбора точек , называется двойным интегралом или интегралом Римана от функции по множеству и обозначается

.

Двойной интеграл можно вычислить с помощью повторного интеграла. Если множество задано неравенствами , где и - непрерывные на отрезке функции, то двойной интеграл сводится к повторному

,

в котором интеграл по будем называть внутренним, а по - внешним интегралом. Если множество задано неравенствами , где и - непрерывные на отрезке функции, то двойной интеграл сводится к повторному

,

в котором интеграл по называется внутренним, а по - внешним интегралом.

Пусть непрерывная функция задана на замкнутом, интегрируемом по Жордану, множестве пространства с мерами (объемами) ячеек , тогда интеграл Римана от функции по множеству называется тройным интегралом и обозначается

.

В декартовой системе координат вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла и однократного интеграла. Если, например, множество ограничено снизу поверхностью , сверху поверхностью и с боков цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси , тогда тройной интеграл вычисляется по формуле

,

где - проекция множества на плоскость .

Тройной интеграл также можно вычислить с помощью трех однократных интегралов. Если множество задано неравенствами , , где , , и - непрерывные в соответствующих областях функции, то тройной интеграл сводится к виду

.

Пример 4.1. Свести двойной интеграл к повторному. Область определяется уравнениями и .

Решение. Кривые, определяющие границу области , пересекаются в точках с координатами и . Сначала в качестве внутреннего интеграла возьмем интеграл по . Для этого внутри области при произвольном значении поместим отрезок, параллельный оси .

Нижняя координата отрезка определяется уравнением , а верхняя координата уравнением . Данный отрезок заметает все точки области при изменении от 0 до 2. Таким образом, , следовательно = . Теперь в качестве внутреннего интеграла возьмем интеграл по . В области при произвольном значении поместим отрезок, параллельный оси . Левая координата отрезка определяется уравнением , а правая координата уравнением . Данный отрезок заметает все точки области при изменении от 0 до 4. Таким образом, , следовательно .

Пример 4.2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

.

Решение. По пределам интегрирования повторного интеграла определим область интегрирования . Так как внутренний интеграл берется по , его пределы показывают, какими линиями ограничена область снизу и сверху. Пределы внешнего интеграла показывают, между какими вертикальными прямыми расположена область . Таким образом, . Ч тобы изменить порядок интегрирования в повторном интеграле область при помощи прямой разбиваем на две области и . , . Эти области можно представить в виде: , . Следовательно, повторный интеграл буден иметь вид: .

Пример 4.3.  Расставить различными способами пределы интегрирования в тройном интеграле

.

Решение. По пределам интегрирования повторного интеграла определим область интегрирования - конус с вершиной в начале координат и с осью, совпадающей с осью . Записав множество в виде , получим . Представив в виде , получим .

Пример 4.4.  Вычислить двойной интеграл , где область интегрирования задана пересечением прямых , , .

Решение. Двойной интеграл сведем к повторному с внутренним интегралом по и внешним по . Область представим в виде: . Тогда получаем интеграл . Проинтегрировать его не представляется возможным, так как первообразная для подынтегральной функции внутреннего интеграла не выражается через элементарные функции.

Поменяем порядок интегрирования. Для этого область интегрирования представим в виде: . Двойной интеграл сводится к повторному интегралу следующего вида . Этот интеграл легко вычисляется .

Пример 4.5.  Вычислить тройной интеграл , где область интегрирования ограничена поверхностями , , и координатной плоскостью .

Решение. Множество снизу ограничено плоской поверхностью сверху некоторой поверхностью и с боков цилиндрическими поверхностями , . Это позволяет свести наш тройной интеграл к двойному по проекции множества на плоскость и к однократному по : . Вычисляя однократный интеграл, получаем . Для вычисления полученного двойного интеграла изобразим область . Кривые и пересекаются в точках и . Внутри области при произвольном помещаем отрезок, параллельный оси . Концы отрезка лежат на кривых и , поэтому координаты концов и . При перемещении отрезка параллельно оси от точки 0 до точки 1 он заметает все точки множества . Таким образом, множество записывается в виде , следовательно, наш двойной интеграл сводится к повторному . Вычисляем повторный интеграл .

П ример 4.6. Вычислить тройной интеграл , где область интегрирования ограничена координатными плоскостями , , и плоскостью .

Р ешение. Тройной интеграл сведем к повторному с внутренним интегралом по . Для этого внутри области при произвольных и поместим отрезок, параллельный оси . Нижняя координата этого отрезка равна 0, а верхняя координата равна . Перемещая отрезок параллельно оси от до , получаем все точки плоской поверхности расположенной в области при произвольном . Перемещение полученной плоской поверхности параллельно оси от до заметает все точки области . Таким образом область записывается в виде: , следовательно .