Лабораторная Работа № 2

''Метод прямоугольника.''

Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0.

Если отрезок   является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по

1. Формуле левых прямоугольников: 

2. Формуле правых прямоугольников: 

3. Формуле прямоугольников (средних): 

Лабораторная Работа № 2

Функция: f(x) = sin(x) – 0,2x

Программа для вычисления, путем "метода прямоугольника"

CLS

PRINT " INTEGRIROVANIE METODOM PRAMOYGOLNIKA "

INPUT "VV INTERVAL A,В"; A1, B1: A = A1: B = B1

INPUT "VV N"; N1: N = N1: I = 0: S1 = 0

DEF FNF (X) = (X^ 2) * SIN(X)

X1 = (B - A) / N: PRINT "X=(B-A)/N="; X1

FOR X = A to B + X1 STEP X1

Y = FNF (X): PRINT "X"; I; "="; X, "Y"; I; "="; Y

I = I + 1

S1 = S1 + Y

NEXT X

INPUT "VV NACH ILI KON INTERVAL "; Z1: Z = Z1

S = X1 * (S1 - FNF(Z))

PRINT "S="; S

END

вывод программы:

Integrirovanie metodom praymoygolnika Integrirovanie metodom praymoygolnika Интервал (A,B) = (0, 1) Интервал (A,B) = (0, 1) N = 100 N = 200

S= 0.2276936 S= 0.2254079

Лабораторная работа № 3

''Метод простых итераций решения уравнения F(x) = 0''

Метод простых итераций ( метод последовательных приближений) решения уравнения F(x) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением x = ϕ( ) и построении последовательности ϕ( ), сходящейся при n→∞ к точному значению решению Ḝ. Сформулируем достаточное условие сходимости метода простых итераций.

Теорема. Пусть функция ϕ( ) определена и дифференцируема на [a,b], причем все ее значения ϕ( ) є [a,b]. Тогда, если существует число q, такое, чтo на отрезке [a,b], то последовательность сходится к единственному на [a,b] решению уравнения x = ϕ(x) при любом значении т.е

При этом, если на отрезке производная , то | , если то |

Опишем один шаг итераций. Исходя из найденного на предыдущем шаге значения , вычисляем y = ϕ( ). Если |y - , полагают и выполняют очередную итерацию. Если|y - , то вычисления заканчиваются и за приближенное значение корня принимают величину . Погрешность полученного результата зависит от знака производной . При корень найден с погрешностью , если , то погрешность не превышает ξ

Метод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построить графики функций y=x и y= .