Классическая формулировка ц.П.Т.

Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние и , соответственно. Пусть . Тогда

по распределению при ,

где — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Обозначив символом выборочное среднее первых величин, то есть , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

по распределению при .

Скорость сходимости можно оценить с помощью неравенства Берри-Эссеена.

41. Випадковий процес та його характеристики.

Випадко́вий проце́с— важливе поняття сучасної теорії ймовірностей. Є певним узагальненням поняття випадкова величина, а саме — це випадкова величина, що змінюється з часом (іншими словами: випадкова величина, що залежить від змінної величини, яку називають час, або іншими словами — це набір випадкових величин, параметризованих величиною T — часом).

Розрізняють випадкові процеси з дискретним і неперервним часом.

Нехай  — ймовірнісний простір;  —вимірний простір; t — параметр, сукупність значень якого, є, в загальному випадку, довільною множиною;  — елементарна подія.

Випадковою функцією , , називають вимірне відображення простору елементарних подій в , що залежить від параметру t.

Якщо  — відрізок числової осі, а параметр t інтерпретувати як час, то замість терміну «випадкова функція» використовують термін «випадковий процес».

Характеристики. Як і випадкова величина, випадковий процес може бути описаний числовими характеристиками. Якщо для випадкової величини ці характеристики є постійними числами, то для випадкового процесу - невипадковими функціями.

Математичним очікуванням випадкового процесу X(t) називається невипадкова функція a_x(t), яка при будь-якому значенні змінної t дорівнює математичному очікуванню відповідного перерізу випадкового процесу X(t), тобто a_x(t) = М[X(t)].

Дисперсією випадкового процесу X(t) називається невипадкова функція D_x(t), при якому значенні змінної t рівна дисперсії відповідного поєднання випадкового процесу X(t), тобто D_x(t)=D[X(t)].

Середнім квадратичним відхиленням σ_x(t) випадкового процесу X(t) називається арифметичне значення кореня квадратного з його дисперсії, тобто σ_x(t)=D_x(t).

Математичне сподівання випадкового процесу характеризує середню траєкторію всіх можливих його реалізацій, а його дисперсія або середнє квадратичне відхилення - розкид реалізацій щодо середньої траєкторії.

42.**Ланцюгі Маркова

Ланцюг Маркова в математиці це випадковий процес, що задовольняє властивість Маркова і який приймає скінченну чи зліченну кількість значень(станів). Існують ланцюги Маркова як з дискретним так і з неперервним часом.

Інтуїтивне визначення Нехай I  -деяка скінченна чи зліченна множина елементи якої називаються станами. Нехай деякий процес в момент часу n (де n=0,1,2,3...) може перебувати в одному із цих станів, а в час n+1 перейти в деякий інший стан(чи залишитися в тому ж). Кожен такий перехід називається кроком. Кожен крок не є точно визначеним. З певними ймовірностями процес може перейти в один з кількох чи навіть усіх станів. Якщо імовірності переходу залежать лише від часу n і стану в якому перебуває процес в цей час і не залежать від станів в яких процес перебував у моменти 0, 1, ... , n-1 то такий процес називається (дискретним) ланцюгом Маркова. Ланцюг Маркова повністю задається визначенням ймовірностей p_i перебування процесу в стані   в час n=0 і ймовірностей   переходу зі стану   в стан  в час n. Якщо ймовірності переходу не залежать від часу (тобто   однакові для всіх n) то такий ланцюг Маркова називається однорідним. Саме однорідні ланцюги Макова є найбільш важливими на практиці і найкраще вивченими теоретично. Тому саме їм приділятиметься найбільша увага у цій статті.