5. Трикутник Паскаля, біном Ньютона. Число всіх підмножин множини.

Трикутник Паскаля - нескінченна таблиця біноміальних коефіцієнтів, що має трикутну форму. У цьому трикутнику на вершині і з боків стоять одиниці. Кожне число дорівнює сумі двох розташованих над ним чисел. Рядки трикутника симетричні щодо вертикальної осі. Названий на честь Блеза Паскаля. Має застосування в теорії ймовірностей.

Властивості : Числа трикутника симетричні (рівні) щодо вертикальної осі.

У рядку з номером n:

перше і останнє числа рівні 1.

друге і передостаннє числа дорівнюють n.

третє число одно трикутникове числу, що також дорівнює сумі номерів попередніх рядків [3].

четверте число є тетраедричних [3].

m-е число дорівнює біноміальним коефіцієнту.

Кожне число в трикутнику дорівнює кількості способів дістатися до нього з вершини, переміщаючись або вправо-вниз, або вліво-вниз

Біном Ньютона - формула для розкладання на окремі складові цілої неотрицательной ступеня суми двох змінних, що має вигляд ,

де - біноміальні коефіцієнти, - невід'ємне ціле число.

В такому вигляді ця формула була відома ще індійським та ісламським математикам; Ньютон вивів формулу бінома для більш загального випадку, коли показник ступеня - довільне раціональне число (можливо, негативне). В цьому випадку біном являє собою нескінченний ряд.

- одне з тотожностей біноміальних коефіцієнтів

Число підмножин

Якщо кінцева множина складається з N елементів, то воно має рівно 2^N підмножин.

Нехай – множина M з N елементів. ЇЇ підмножини можуть складатися з нуля, одного, двох, трьох, ..., N елементів, причому різних підмножин з елементів рівно (біноміальний коефіцієнт - число сполучень із N по K). Отже, всього підмножин буде

6.Комбінації з повтореннями.

Нехай дано два натуральних числа n і k, k ≤ n. Нехай також у нас є набір предметів n різних сортів. Елементи одного сорту вважаються однаковими, причому кількість елементів одного сорту - необмежено. Довільний набір з k предметів називається комбінацією з повтореннями з n елементів по k.

Отже,комбінацією з повтореннями називаються набори, в яких кожен елемент може брати участь кілька разів.

Число комбінацій з повтореннями з n по k дорівнює біноміальним коефіцієнту

При фіксованому n похідною функцією чисел комбінацій з повтореннями з n по k є:

7. Формули включень та виключень; вміти записати для 2 і 3.

Формула включений-исключений (или принцип включений-исключений) — комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом.

Случай двух множеств

Например, в случае двух множеств формула включений-исключений имеет вид:

В сумме элементы пересечения учтены дважды, и чтобы компенсировать это мы вычитаем из правой части формулы. Справедливость этого рассуждения видна из диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств, приведенной на рисунке.

Таким же образом и в случае множеств процесс нахождения количества элементов объединения состоит во включении всего, затем исключении лишнего, затем включении ошибочно исключенного и так далее, то есть в попеременном включении и исключении. Отсюда и происходит название формулы.