19 И 20. Оптимальный фильтр. Физическая сущность оптимальной фильтрации.

Как было показано в предыдущем разделе, основной операцией при оптимальном обнаружении является вычисление функции взаимной корреляции между принимаемым колебанием   и ожидаемым сигналом  :

Эта операция выполняется взаимокорреляционным устройством (ВКУ), которое состоит из задерживающего устройства на время  , умножителя и интегратора (Рис.1)

Это устройство вычисляет для заданного   одно значение функции взаимной корреляции. Для получения многих значений   необходимо либо повторить процедуру для различных  , либо использовать параллельную цепь задерживающих устройств. Если время поступления сигнала известно, то достаточно вычислить лишь  , однако чаще всего время прихода является случайной функцией, и поэтому приходится анализировать всю функцию  , принимая решение о наличии сигнала по её максимуму.

Можно построить схему ВКУ в виде простого линейного устройства с постоянными параметрами, на выходе которого получают непрерывную функцию  , а временная задержка сигнала вносит соответствующую задержку в выходной сигнал.

Такое устройство называют линейным фильтром. Связь входного и выходного сигналов в линейном фильтре описывается интегралом свертки

где  -импульсная характеристика фильтра. Если подобрать линейную цепь так, чтобы напряжение на её выходе с точностью до произвольного множителя k воспроизводило бы взаимокорреляционную функцию (с некоторым запаздыванием  ), т.е.

то её импульсная характеристика должна удовлетворять равенству

Это может быть проиллюстрировано на следующем примере (см. рис. 2)

Импульсная характеристика является зеркальным отображением сигнала

Линейная система, имеющая такую импульсную характеристику, называется оптимальным фильтром. Она выполняет операцию вычисления взаимной корреляционной функции. Чтобы сигнал на выходе появился после прихода сигнала, должно выполняться условие   Оптимальный фильтр является лучшим по критерию получения на выходе максимального отношения сигнал-шум при заданной форме сигнала и интенсивности белого шума на его выходе. Если сигналы имеют очень сложную форму или имеют очень большую длительность, то построение оптимальных фильтров для них является очень сложной задачей.

20. Импульсная и частотная характеристика оптимального фильтра.

Импульсную смотри в 19 вопросе.

Частотная характеристика оптимального фильтра

Частотная характеристика оптимального фильтра может быть найдена как прямое преобразование Фурье импульсной характеристики:

Таким образом, частотная характеристика оптимального фильтра с точностью до множителя К описывается сопряженным спектром принятого сигнала и множителем запаздывания exp(-iωt₀).

Поскольку спектр сигнала может быть выражен через его модуль и аргумент

частотная характеристика оптимального фильтра может быть представ лена в виде

откуда следуют амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики оптимального фильтра

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) оптимального фильтра оказывается согласованной с амплитудно-частотным спектром (АЧС) принятого сигнала (рис. 3). Оптимальный фильтр наилучшим образом пропускает те спектральные составляющие, которые наиболее сильно выражены в спектре. Слабые спектральные составляющее подавляются, в противном случав наряду с ними пройдут интенсивные составлявшие помехи в широком диапазоне частот. Форма амплитудно-частотного спектра сигнала на выходе фильтра искажается, что является одной из причин искажения формы сигнала. Однако задачей оптимальной фильтрации является не точное воспроизведение формы сигнала, а наилучшее выделение его на фоне помехи, т.е. обеспечение наилуч ших характеристик обнаружения.

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) оптимального фильтра складывается из фазочастотного спектра (ФЧС) принятого сигнала, взято го с обратным знаком, и аргумента задержки (-ωt₀) .