Лабораторная работа 3. Измерение скорости снаряда с помощью физического баллистического маятника

Цель работы: применить законы сохранения при исследовании соударения тел.

Приборы и принадлежности: пушка, физический баллистический маятник,

подвес маятника, измерительная система.

Краткое теоретическое введение

Рассматриваемые в механике законы сохранения энергии, импульса и момента импульса являются точными законами и имеют всеобщий характер - они применимы не только к механическим явлениям, но и вообще ко всем явлениям природы.

Совокупность тел, выделенных для рассмотрения, называют механической системой. Тела системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, подразделяют на внутренние и внешние. Внутренними называют силы, с которыми тела системы действуют друг на друга, внешними - силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе. Система, в которой внешние силы отсутствуют, называется замкнутой. Для замкнутых систем остаются постоянными (сохраняются) три физические величины: энергия, импульс и момент импульса.

Импульсом, или количеством движения, называют меру механического движения, равную для материальной точки произведению ее массы m на скорость .

Импульс - величина векторная, направленная также, как скорость .

Повседневный опыт показывает, что при вращении какого-либо тела с помощью рычага (например, при затягивании болта гаечным ключом) существенным оказывается не только модуль силы, но и длина рычага. В соответствии с этим вводится понятие момента силы. Различают момент силы относительно центра (точки) и относительно оси.

Момент силы относительно центра О величина векторная, выражаемая равенством , где - радиус-вектор, проведенный из О в точку приложения силы . Проекция вектора М на произвольную ось Z, проходящую через центр О, называется моментом силы относительно этой оси:

Моментом импульса материальной точки (частицы) относительно центра (точки) О называется векторная величина

(1)

где - радиус-вектор, определяющий положение частицы относительно точки О,

а - импульс частицы. Модуль этой величины, равный , можно представить в виде произведения плеча импульса на модуль вектора (рис. 1) : .

Частица обладает моментом импульса, независимо от формы траектории, по которой она движется. Проекция вектора на произвольную ось z, проходящую через точку О, называется моментом импульса частицы относительно этой оси

(2)

Моментом импульса системы частиц относительно точки О называется сумма моментов импульса отдельных частиц:

(3)

Скорость изменения момента импульса системы частиц со временем равна суммарному моменту внешних сил, действующих на систему:

(4)

Спроектировав векторы, входящие в формулу (4) на произвольную ось z, проходящую через точку О, придем к уравнению:

(5)

Если система замкнута (т.е. внешних сил нет), правая часть равенства (5) равна нулю и вектор не изменяется со временем. Отсюда следует закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы материальных точек останется постоянным. Будет оставаться постоянным и момент импульса замкнутой системы относительно любой оси, проходящей через точку О.

Момент импульса сохраняется и для незамкнутой системы, если сумма моментов внешних сил равна О. Согласно (5) сохраняется момент импульса системы относительно оси z при условии, что сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю.

Момент инерции, величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении. Моментом инерции тела относительно оси z называется величина, определяемая равенством:

(6)

где m - масса i точки тела, r - ее расстояния от оси z.

Моменты инерции относительно параллельных осей z и z^' связаны соотношением:

(7)

где J - момент инерции тела массой m относительно оси z,

J_C - момент инерции этого тела относительно оси z^', проходящей через центр

масс тела,

d - расстояние между осями. Это соотношение выражает теорему Штейнера.

Момент импульса твердого тела относительно оси z равен сумме моментов импульса отдельных точек этого тела.

Так как для вращательного движения с угловой скоростью w скорость ,

то ,

т.е.

L=Jw (8)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой же оси на угловую скорость. С учетом (8) закон сохранения момента импульса тела или системы тел относительно оси z, можно записать в виде:

Jw = const. (9)

Продемонстрировать сохранение момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского (рис.2).

Рис. 2

Пусть человек, стоящий на скамье, которая вращается без трения вокруг вертикальной оси, и держащий в поднятых на уровень плеч руках гири, приведен во вращение с угловой скоростью w . Человек обладает некоторым моментом импульса, который сохраняется. Если он опускает руки, то его момент инерции уменьшается, в результате чего возрастет угловая скорость w₂ его вращения.

Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову, поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Кинетическую энергию тела, вращающегося с угловой скоростью w, можно найти как сумму кинетических энергий его элементарных частиц:

.

Учитывая, что ,а также выражение (6), получим

.

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

(10)

Сумма кинетической и потенциальной энергий представляет собой полную механическую энергию системы. Закон сохранения механической энергии утверждает, что полная механическая энергия системы материальных точек, находящаяся под действием только консервативных сил, остается постоянной.