3.3.3. Нормальный закон распределения нсв

Наиболее распространенным является нормальный закон распределения. Ему подчиняются практически все случайные величины, значения которых получаются непосредственным измерением или какими-нибудь линейными преобразованиями измеренных значений.

Определение 1. Случайная величина Х подчиняется нормальному закону распределения, если она определена на всей числовой оси и имеет плотность

(3.4.1)

Рис.4

Плотность (рис.4) определена на всей оси, ось абсцисс является асимптотой графика этой функции. График нормальной плотности называется кривая Гаусса. Отметим, что - стандартное обозначение плотности нормальной случайной величины.

Числовые характеристики нормального закона равны

(3.4.2)

(3.4.3)

Функция распределения нормальной случайной величины не может быть найдена, так как интеграл относится к классу неберущихся, т.е. не выражается через элементарные функции. Однако, аналогом функции распределения служит так называемая функция Лапласа.

Определение 2. Функция (3.4.4) называется функцией Лапласа.

Таблицы функции Лапласа имеются, практически, в любом учебнике по теории вероятностей. Нужно заметить, что иногда эта функция задается в несколько ином виде, на что следует обращать внимание при использовании формул, приведенных ниже.

Функция (3.4.4) является нечетной, т.е. , поэтому ее таблицы приведены только для х > 0. Функция Лапласа используется в ряде формул, связанных с нормальным законом распределения.

(3.4.5)

Из формулы (3.4.5) следует, что вероятность данного отклонения нормальной величины от своего математического ожидания равна

(3.4.6)

Или, положив , получим

(3.4.7)

Пример 7. Станок-автомат штампует детали, длина которых является случайной величиной, подчиненной нормальному закону распределения с математическим ожиданием a = 10 см и средним квадратическим отклонением  = 1 см. Деталь стандартна, если ее длина лежит в пределах от 8 до 11,5 см. Найти вероятность того, что две случайно взятые детали стандартны.

Пусть А - первая деталь стандартна,

В - вторая деталь стандартна,

Х - размер детали.

Тогда Р(А) = Р(В) = Р(8  X  11,5). На основании формулы (3.4.5), используя таблицы функции Лапласа (В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. -М., «Высшая школа». -1972.).

Следовательно Р(А) = Р(В) = 0,91 и Р(АВ) = 0,91 0,91=0,8281.

Замечание. Как отмечалось выше, нормальный закон распределения является одним из самых распространенных. Например, такие характеристики материалов, как масса, прочность, длина и т.п. распределены по нормальному закону. Однако, следует учитывать, что нормальная случайная величина принимает любые значения, а характеристики материалов могут быть только положительными. Поэтому в реальной жизни мы имеем дело с так называемым усеченным нормальным законом, плотность которого определяется равенством

где С - нормирующий множитель, определяемый из равенства

Например, длина детали подчиняется нормальному закону с параметрами a = 10 см,  = 4 см. Найти нормирующий множитель С, если исходить только из того, что длина детали положительное число.

Из равенства следует, что ,

т.е. должно выполняться равенство

Тогда для нашего примера т.е. С или 0,9938 С = 1 и окончательно С = 1,006  1. (именно поэтому как правило нормирующий множитель практически не используют).