Методика работы над задачами, связанными с пропорциональными величинами
В начальных классах рассматривается решение задач, связанных с пропорциональными величинами: задачи на нахождение четвертого пропорционального (на простое тройное правило), на пропорциональное деление и на нахождение неизвестных по двум разностям, задачи, связанные с движением.
В задачах на нахождение четвертого пропорционального даются три величины, связанные с пропорциональной зависимостью (прямой, обратной) и, исходя из которых, находят четвертую, искомую величину. Эти четыре величины составляют пропорцию, отсюда и название этих задач.
Величинами в этих задачах могут быть цена, количество, стоимость; скорость, время, расстояние; масса одного предмета, количество предметов, общая масса и другие.
В методической литературе, в частности в (11, с. 226), описывается следующая классификация задач на нахождение четвертого пропорционального (таблица 19):
Решение этих задач основывается на знании связей между величинами (зная цену товара и его количество, можно найти стоимость, выполнив действие умножения).
1.Классификация задач на нахождение четвертого пропорционального
В задачах нахождение четвертого пропорционального даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной, а второе значение этой величины является искомым. Используя любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью, можно составить шесть видов задач на нахождение четвертого пропорционального.
Классификация задач на нахождение четвертого пропорционального с величинами: цена, количество, стоимость.
№ задач |
Величины |
Задачи |
||
Цена |
Количество |
стоимость |
||
|
|
Постоянная |
Даны два значения |
Дано одно значение, а другое является искомым |
За 2 кг моркови уплатили 30 коп. Сколько надо уплатить за 6 кг моркови по такой же цене? |
|
|
постоянная |
Дано одно значение, а другое является искомым |
Даны два значения |
За 6 кг моркови уплатили 90 коп. Сколько килограммов моркови по такой же цене можно купить на 30 коп.?? |
|
|
Даны два значения |
Постоянная |
Дано одно значение, а другое является искомым |
За кусок льняного полотна ценой по 2 руб. за метр уплатили 8 руб. Сколько уплатили за кусок шелкового полотна такой же длины, если его цена 4 руб. за метр? |
|
|
Дано одно значение, а другое является искомым |
Постоянная |
Даны два значения |
За кусок шелкового полотна ценой по 4 руб. за метр уплатили 16 руб., а за кусок льняного полотна такой же длины уплатили 8 руб. По какой цене покупали льняное полотно? |
|
|
Даны два значения |
Дано одно значение, а другое является искомым |
Постоянная |
За 6 детских костюмов ценой по 12 руб. уплатили столько же, сколько за детские пальто ценой по 36 руб. Сколько купили детских пальто? |
|
|
Дано одно значение, а другое является искомым |
Даны два значения |
Постоянная |
За 2 детских пальто ценой по 36 руб. уплатили столько же, сколько за 6 детских костюмов. По какой цене покупали костюмы? |
Первые четыре задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две последние с обратно пропорциональной.
Каждую из этих шести задач можно решить способом, нахождения значения постоянной величины, а затем, используя его, найти искомое( решение I задачи: 30:2×6 = 90 сначала узнали цену моркови— значение постоянной, а затем стоимость 6 кг). Для задач I и II видов этот способ называется способом приведения к единице, а начиная с III класса используют способ составление уравнений. Эти задачи решаются во II и III классах. Во II классе рассматриваются задачи с прямо пропорциональной зависимостью (I—IV виды), при этом включаются задачи с группами величин: цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса; емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость; выработка в единицу времени, время работы, общая выработка; расход материи на одну вещь, число вещей, общий расход материи. В III классе рассматривается все шести видов задач, при этом вводятся новые группы величин: скорость, время, расстояние; длина прямоугольника, его ширина и площадь; урожай с единицы площади, площадь, весь урожай.
2. методика решения задач на нахождение четвертого пропорционального Подготовительная работа к решению задач на нахождение четвертого пропорционального предусматривает ознакомление с величинами и связями между ними.
Перед введением задач этого вида, знакомят детей с величинами: цена, стоимость, скорость и др. При этом, одновременно, раскрывается связь между пропорциональными величинами При ознакомлении с величинами цена, количество, стоимость можно провести игру в «магазин». Что продается в магазине? Назовите цену тетради. Что показывает цена? Сколько купили тетрадей? Что означает число 3?
Учитель прикрепляет к доске 4 блокнота, под каждым записана цена «5 коп.».
Цена |
Количество |
Стоимость |
5 коп. |
4 блокнота |
? |
Что известно в этой задаче? (Цена и количество.) Что требуется узнать? (Стоимость.) Если известны цена и количество, то каким действием находят стоимость? (Умножением.)
Далее начинается игра: один ученик назначается продавцом, а несколько учеников покупателями. Покупатели по очереди подходят к продавцу и покупают несколько вещей. Ученики, сидящие в классе, составляют задачи про эти покупки, записывают их кратко в таблице и решают, причем каждый раз устанавливают связь: известны цена и количество, находили стоимость действием умножения. Так же раскрываются связи: если известны стоимость и количество, то можно найти цену действием деления; если известны стоимость и цена, то можно найти количество действием деления.
Для закрепления знания связей между величинами включают простые задачи для устного решения, упражнения на составление и решение обратных задач по отношению к данной простой задаче. Для письменного решения предлагают составные задачи .Так же проводится работа в III классе над двумя группами величин: скорость, время, расстояние и длина прямоугольника, его ширина и площадь. Связи между величинами каждой из других групп учащиеся устанавливают самостоятельно, по аналогии. Одновременно следует наблюдать за изменением одной из трех величин в зависимости от изменения другой при неизменной третьей. Например, предлагается упражнение в решении ряда односюжетных задач: «Блокнот стоит 5 коп. Сколько будут стоить 2 блокнота; 3 блокнота; 5 блокнотов; 8 блокнотов; а блокнотов?» Решение целесообразно записать в таблице:
Цена блокнота |
5 |
5 |
5 |
Число блокнотов |
2 |
3 |
а |
Стоимость блокнотов |
10 |
15 |
5×а |
Первыми решают задачи с величинами: цена, количество, стоимость, опираясь на практический опыт детей ( задачи I вида), при этом их иллюстрируют рисунком или выполняют краткую запись в таблице:
Цена |
Количество |
Стоимость |
Одинаковая |
6 тетрадей 3 тетради |
12 коп. ? |
При повторении задачи дети объясняют, что показывает каждое число: 6 — это количество тетрадей в клетку, 12 коп.— их стоимость и т. п.
Полезно до решения задачи сделать прикидку ( установить, какое число получится в результате решения: больше или меньше одного из данных чисел, и объяснить почему). Решение первых задач следует записывать с пояснениями. Проверка решения выполняется способом составления и решения обратных задач и способом установления границ ответа.
Обобщение способа решения .После рассмотрения нескольких задач I вида (с величинами цена, количество, стоимость) вводятся задачи этого же вида с другими величинами, а затем предлагаются задачи других видов. Проводятся различные упражнения творческого характера: упражнения по сравнению задач различных видов, связанных с одной какой-либо группой величин ( предлагаются для самостоятельного решения задачи I, III и V видов с величинами: цена, количество, стоимость ). После решения устанавливают сходство и различие между самими задачами и их решениями. Можно предлагать для решения и последующего сравнения задачи одного вида, но с различными группами пропорциональных величин. Предлагая упражнения на составление задач учащимися, надо добиваться, чтобы они воспроизводили различные варианты жизненных ситуаций.
В начальной школе распространенным способом решения этих задач является способ нахождения значения постоянной величины. Например, в задаче 1 решением будет: 1) 4:2=2 (р.) - цена моркови; 2) 2·6=12 (р.) - всего уплатили.
Однако, для общего развития учащихся полезно решать эти задачи и нахождением коэффициента пропорциональности (термин для учителя - А.А.). Например, в той же задаче: 1) 6:2=3 (раза) - во столько раз больше купили моркови; 2) 4·3=12 (р.) - всего уплатили.
Задачи данного вида с величинами цена, количество и стоимость вводятся во 2 классе раньше задач с другими величинами. Рассмотрим методику работы с ними.
Подготовительная работа к решению задач на нахождение четвертого пропорционального с величинами цена, количество и стоимость начинается с ознакомления со связью между ними. Это можно провести через игру в "магазине" (прием М.И. Моро, М.А. Бантовой).
На доску прикрепляются "товары": тетради, карандаши, блокноты и т.д. На них обозначены цены (прикреплены этикетки: "Цена 3 руб.", "Цена 5 руб." и т.д.).
- Сегодня будем играть в "магазин" и решать задачи о покупках. Вот это магазин. (Показывает на доску.) Что продается в магазине? (Называют.) На вещах обозначена цена. Назовите цену тетради. (3 руб.) Цену блокнота. (5 руб.) Что же показывает цена? (Сколько стоит 1 тетрадь, 1 блокнот и т.д.) Я куплю 3 тетради. Что обозначает число 3? (Сколько вы купили тетрадей.) Иначе говорят: это число тетрадей, или количество тетрадей. Я купила 8 блокнотов. Что обозначает число 8? (Число блокнотов или количество блокнотов.) Сколько денег я должна уплатить за 2 блокнота? (10 руб.) Как вы узнали? (5 2=10.) 10 руб. – это стоимость 2 блокнотов.