[ Правити ]Історія питання і передумови

Поняття алгоритму та аксіоматичної системи мають давню історію. І те й інше відоме ще з часів античності . Досить згадати постулати геометрії Евкліда і алгоритм знаходження найбільшого загального дільника того ж Евкліда. Незважаючи на це, чіткого математичного визначення обчислення та особливо алгоритму не існувало дуже довгий час. Особливість проблеми, пов'язаної з формальним визначенням нерозв'язності полягала в тому, що для того, щоб показати, що деякий алгоритм існує, достатньо його просто знайти і продемонструвати. Якщо ж алгоритм не знаходиться, можливо його не існує і це тоді потрібно строго довести. А для цього потрібно точно знати, що таке алгоритм.

Великий прогрес у формалізації цих понять було досягнуто на початку XX століття Гільбертом і його школою. Тоді, спочатку, сформувалися поняття обчислення і формального виводу, а потім Гільбертом ж, в його знаменитій програмі обгрунтування математики була поставлена ​​амбітна мета формалізації всієї математики. Це передбачало, в тому числі, можливість автоматичної перевірки будь-якої математичної формули на предмет істинності. Відштовхуючись від робіт Гільберта Гедель вперше описав клас так званих рекурсивних функцій , за допомогою якої довів свої знамениті теореми про неповноту . Згодом був введений ряд інших формалізмів, таких як машина Тьюринга , λ-числення , що опинилися еквівалентними рекурсивним функціям. В даний час, кожен з них вважається формальним еквівалентом інтуїтивного поняття обчислюваною функції. Ця еквівалентність постулюється тезою Черча .

Коли поняття обчислення і алгоритму були уточнені, пішов ряд результатів про нерозв'язності різних теорій. Одним з перших таких результатів була теорема, доведена Новіковим , про нерозв'язності проблеми слів в групах . Розв'язні ж теорії були відомі задовго до цього.

Інтуїтивно зрозуміло, що чим складніше і виразно теорія, тим більше шансів, що вона виявиться нерозв'язною. Тому, грубо кажучи, «нерозв'язна теорія» - синонім до «складна теорія».

[ Правити ]Загальні відомості

Формальне обчислення в загальному випадку має визначати мову , правила побудови термів і формул , аксіоми і правила виводу. Таким чином, для кожної теореми T, завжди можна побудувати ланцюжок A _1, A _2, ..., A _n = T, де кожна формула A _i або є аксіомою, або виводиться з попередніх формул, по одному з правил виводу. Розв'язність означає, що існує алгоритм, який для кожного правильно побудованого пропозиції T, за кінцевий час видає однозначну відповідь: так, ця пропозиція виводиться в рамках обчислення чи ні - воно не виводиться.

Очевидно, що суперечлива теорія розв'язна, так як будь-яка формула буде виведеної. З іншого боку, якщо обчислення не володіє рекурсивно перечислимого безліччю аксіом, як наприклад, логіка другого порядку , воно, очевидно, не може бути розв'язаним.

[ Правити ]Приклади розв'язаних теорій

Цей розділ статті ще не написаний . Згідно з задумом одного з учасників Вікіпедії, на цьому місці повинен розташовуватися спеціальний розділ.  Ви можете допомогти проекту, написавши цей розділ.