1.5.5 Округление результатов перевода дробей с целью сохранения точности и уменьшения потери информации.
В общем случае число циклов при переводе дроби определяется разрядностью (рис.1.15) технического средства, в котором будет храниться новая дробь.
1 2 3 4 5 6 7 8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^
m=8
m+1=9, 1*N-(m+1)
Рис. 1.15 Разрядная сетка, старший разряд которой используется для размещения кода знака дроби.
Округление требует дополнительного формирования единичного значения( m+1)-го разряда дроби
Сложение этого значения с результатом перевода и отбрасывание содержимого (m+1) разряда результата и составляет процедуру округления дроби:
A=0, 01001111 1
+0, 00000000 1
0, 01010000 0
Для L < R запись исходной дроби представляется её значением, в котором основание новой системы записано в старой и выполняются все необходимые операции:
L=2 R=10;
r=2
[0,001]2→ [0,125]10
0*2-1+0*2-2+1*2-3= 0,125
Значение дроби
[87, 25]10→ [1010111, 01]2→ 1*26+1*24+1*22+ 1*21+1*20=87
1*1/4=0, 25
1.6 Оптимальная система счисления для технических средств обработки информации.
Критерием оптимальности для выбора системы счисления технического устройства может служить количество аппаратуры – К, необходимой для представления некоторого числа, состоящего из n разрядов и записанного в системе счисления с основанием N.
K=a*n*N (1.13)
Коэффициент a = const
Для представления максимального целого числа в разрядной сетке из n-элементов введём обозначения:
Mmax=Nn-1
1 2 3 Д ля N=10, n=3 Mmax=103-1=999
9 |
9 |
9 |
|
||
Mmax
≈
Nn
Если n>1,то примем
Вычислем:
Ln Mmax=n*ln*N,
n=ln Mmax/ln N
K=a*ln
Mmax
*N/ln
N
(15)
Для определения оптимального значения N выполним преобразования:
∂K/∂N=0;
d (U/V) =v*d*U-U*d*v/(v)2;
∂K/∂N=a*ln Mmax (ln N*1-N-1/N/(ln N)2)=0;
N=e=2,
71
Оптимальной для технических устройств является система счисления с основаниями близкими к N=2 и N=3(табл.1.3).
Таблица 1.3
n10 |
N10 |
n2 |
N2 |
n3 |
N3 |
K10 |
K2 |
K3 |
1 2 3 4 5
|
9 99 999 9999 99999 |
4 7 10 14 17 |
1001 1100011 1111100111 10011100001111 11000011010011111 |
3 5 7 9 11 |
100 10200 110100 111201100 12002011200 |
10 20 30 40 50 30 |
8 14 20 28 34 23 |
9 15 21 27 33 21
|
Оптимальная для технического устройства система счисления обеспечивает минимум аппаратных затрат на ее реализацию.