1.4.1 Системы счисления.

Различают позиционные и не позиционные системы счисления (рис. 1.13). Позиционные системы счисления различают по значению их основания.

Рис.1.13 Разновидности систем счисления.

используются символы Основанием позиционной системы счисления называется любое целое число N>1, которое содержит в себе информацию о количестве различных символов в данной системе счисления:

для N=2 ,используются символы: 0, 1;

для N=3 , используются символы :0,1,2;

для N=8 , используются символы :0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;

для N=10, используются символы :0, 1, … 8, 9;

для N=16 , используются символы :0, 1,.. 10, 11, 12, 13, 14, 15.

1.4.2 Запись числа в позиционной системе счисления.

В позиционной системе счисления различают запись и значение числа.

Запись – это последовательность символов, каждый из которых представляет собой выборку из множества символов системы.

Пусть А – это целое число ,тогда его записывают последовательностью символов… a_i

А= а_n a_n-1… a_i… a₁ a_0.

0

Для N=2, a_i=

1

0

1

Для N=8, a_i= .

.

7

A= a_n a_n-1 … … a_i …… a₀ , a_-1 a_-2 …… a_j …… a_-m.

Целая Дробная

часть часть

числа числа

Nⁱ N^-j

Значение числа связано с присвоением каждому символу записи числа собственного веса, который равен основанию системы счисления в степени, показатель которой совпадает с индексом соответствующего символа.

Истинное значение символа определяется его весом в записи числа :вес символа 7 в младшем разряде числа

[ 7237] равен 10⁰=1, а в старшем разряде равен 10³=1000.

Значение числа, имеющего дробную и целую части записывается (1.3) так:

A= a_n*Nⁿ + a_n*N^n-1+… + a_i*Nⁱ + a₀*N⁰ + a_-1*N^-1 + a_-2*N^-2 + … + a_-j*N^-j + … +

n

a_m*N^m= ∑ a_i*N^I + (дробная часть)…… (1.3)

i=0

При обработке кодированной информации в технических устройствах (рис.1.14) , их сложность и быстродействие зависят от конкретных используемых кодов.

(N=10) (N=8) (N=8)

Рис.1.14 Схема преобразования десятичного числа в восьмеричное.

1.5 Алгоритмы перевода чисел из одной системы счисления в другую.

1.5.1 Алгоритмы перевода целых чисел.

Обозначим буквой L основание исходной (старой) системы счисления.

R –основание полученной (новой) системы счисления.

Пусть L>R.

Запишем целое число в системе с основанием L:

A=a_ln a_ln-1……a_li……a_l1 a_l0

Значение этого числа представим, используя коммутативность операции суммирования:

A= a_l0*r¹ + a_l2*r² +…+ a_li*rⁱ+ …+a_ln-1*r^n-1+ a_ln*rⁿ (1.4)

Обе части выражения (1.4) разделим на основании новой системы счисления r:

A/r =a_l0/r+ a_l1+ a_l2*r+… +a_li*r^i-1+…+ a_ln*r^n-1 (1.5)

A₁

A_l0= A -A₁*r (1.6)

A_l0 – представляет собой остаток от деления исходного числа на r.

A₁- промежуточное частное.

Шаги алгоритма (1.4), (1.5), (1.6), повторим по отношению к А₁:

A₁= a_l1 + a_l2*r +…+ a_ln*r^n-1

A_l1/r= a_l1/r + a_l2 + a_l3*r +…+ a_ln*r^n-2 (1.7)

A_l1= A₁ – A₂*r

a_li= A_i – A_i+1*r

(1.8)

Выражение (1.8) представляет собой циклический алгоритм последовательного получения символов A_li числа в новой системе, путём выделения остатков от деления исходного числа на основании новой системы счисления, записанной в старой.

Все полученные остатки и последнее частное представляют собой запись числа в новой системе счисления.

Пример: L=10, R=2, r=2

[29]₁₀→ [11101]₂

29 2

14 2

1 7 2

0 3 2

1 1

1