11.Теорема про повну ймовірність

Наслідком двох основних теорем теорії ймовірностей -  теореми додавання  і  теореми  множення – є формула повної  ймовірності  і формула Байеса. Нехай подія А може відбутися тільки за умови настання однієї із несумісних подій (i = 1, 2,…, n), які утворюють повну групу. Тоді ймовірність події А подається формулою:

де — імовірність події — умовні ймовірності настання події А.

Наведена залежність називається формулою повної ймовірності.

12. Формули Байєса

Подія А може відбутись одночасно з деякою із подій Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез Для цього застосовують формулу Баєса:

Ці формули допомагають переоцінювати імовірності гіпотез, що важливо при контролі і ревізіях.

13.Схема повторних незалежних випробувань Бернуллі. Формула Бернуллі. Наслідки Якщо усі п випробувань проводити в однакових умовах і імовірність появи події А в усіх випробуванях однакова та не залежить від появи або не появи А в інших випробуваннях, то таку послідовність незалежних випробувань називають схемою бернулі. Формула Бернуллі. Ймовірність того, що в результаті n незалежних експериментів за схемою Бернуллі подія А з’явиться m раз, обчислюється за формулою: , де - число сполучень із n по m. Ймовірність того, що подія А з’явиться від m_i раз до m_j раз ( ), обчислюється за формулою:

Н аслідок 1. Імовірність того, що подія А при проведенні n незалежних випробувань відбудеться не менше m1 разів і не більше m2 разів позначається Pn(m1 ≤ m ≤ m2) i обчислюється за формулою

де p Î [0;1] — ймовірність настання події А у кожному випробуванні.

Н аслідок 2. Імовірність того, що подія А відбудеться хоча б один раз при проведенні n незалежних випробувань, позначається Pn(m ≥ 1) і обчислюється за формулою

Наслідок 3. Найімовірніше значення m0 кількості відбувань події А при проведенні n незалежних випробувань обчислюється за формулою

14. Локальна теорема Муавра-Лапласса. Локальна функція Лапласса, властивості функції Локальна теорема Лапласа. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається такою наближеною залежністю:

- локальна функція Лапласса

Локальна теорема Лапласа дає змогу обчислювати ймовірності , якщо n > 10 i p > 0,1.

Властивості:

Функція лапласса ф(х) парна, тобто ф(-х)=ф(х)

Функція ф(х) визначена для усіх хє(-&;+&)

ф(х)>0, коли х прямує до +-нескінченності

ф(х)макс=ф(0)=1/Корінь 2П

15. Інтегральна теорема Муавра-Лапласса. Інтегральна функція Лапласса, властивості функції.

Інтегральна теорема Лапласа. Імовірність того, що подія А відбудеться від до раз при проведенні n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, подається формулою:

—функція Лапласа;

Значення функції Лапласа наводяться у спеціальних таблицях.

Властивості:

Інтегральна функція Лапласса є непарною Ф(-х)=Ф(-х)

Ф(0)=0

Ф(х)=0.5 для х=>5