3.4 Правило структурных преобразований
3.4.1 Последовательное соединение звеньев
Найдём передаточную функцию:
Перемножая левые и правые части передаточных функций звеньев получим:
3.4.2 Параллельное соединение звеньев
Разделив левую и правую части
на
получим передаточную функцию
3.4.3 Параллельно встречное включение звеньев (замкнутая система)
Функциональная схема имеет следующий вид:
Из схемы видно, что
Решая это уравнение относительно
,
получим:
Если
,
то можно установить связь между
передаточной функцией разомкнутой
системы
и замкнутой
3.4.4 Правило переноса внешнего воздействия
Пусть задан фрагмент структурной схемы:
Перенесём внешнее воздействие
на выход первого звена:
Внешнее воздействие, приложенное
ко входу первого звена, можно перенести
на его выход добавив звено с передаточной
функцией
.
Обратная задача. Пусть задана структурная схема:
Внешнее воздействие, приложенное
к выходу первого звена, можно перенести
на его вход, добавив звено с передаточной
функцией
.
3.4.5 Правило переноса точки присоединения звеньев
Пусть задан фрагмент структурной схемы:
Перенесём точку соединения 3-ого звена с выхода второго на его вход:
Точку присоединения 3-ого
звена можно перенести с выхода 2-ого
звена на его вход добавив звено с
передаточной функцией
.
Обратная задача. Пусть задана структурная схема:
Точку соединения 3-ого звена
можно перенести со входа второго звена
на его выход, добавив звено с передаточной
функцией
.
Тема 4. Устойчивость линейных непрерывных стационаных систем
4.1 Понятие устойчивости. Требования к корням характеристического полинома
Наиболее общим методом анализа линейных систем является решение дифференциальных уравнений
где
- общее решение ЛОДУ, характеризующее
свободное движение системы и зависящее
только от свойств самой системы
- частное решение ЛНДУ,
характеризующее вынужденное движение
системы под действием внешних сил
Устойчивость – это свойство системы возвращаться с состояния установившегося равновесия после устранения возмущения, нарушившего это равновесие.
Если после устранения возмущения, система непрерывно удаляется от состояния равновесия, то такая система называется неустойчивая.
Если после устранения возмущения, система находится в том же состояние или совершает незатухающие гармонические колебания возле состояния равновесия, то такая система находится на границе устойчивости (нейтральная).
Математическая формулировка условия устойчивости по Ляпунову:
Выясним, от чего зависит устойчивость системы автоматического регулирования, и определим требования к корням характеристического полинома.
Характеристический полином – это знаменатель передаточной функции замкнутой системы.
найдём корни
,
причём корни буду либо действительными,
либо комплексно попарно сопряжённые
1. Пусть
,
являются действительными, тогда
устойчивая система
неустойчивая система
нейтральная система
2. Пусть
устойчивая система
неустойчивая система
нейтральная система
Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является наличие всех корней с отрицательной вещественной частью.
Необходимым и достаточным условием устойчивости является наличие корней характеристического уравнения, лежащих в левой полуплоскости комплексной плоскости.
Если хоты бы один корень лежит на мнимой оси, то такая системы называется нейтральной
Если хотя бы один корень лежит в правой полуплоскости, то такая система называется неустойчивой
На практике используются другие методы, позволяющие судить об устойчивости системы без решения дифференциальных уравнений, а иногда без их составления. Такие методы называют критериями устойчивости.