10.2.2 Методика синтеза оптимального фильтра Винера

Пусть заданы и .

1. Найдем энергетический спектр входного воздействия:

;

2. Представим ;

3. Выполним операцию ;

4. Определим комплексный коэффициент передачи оптимального физически реализуемого фильтра:

.

10.2.3. Дискретная ошибка оптимального фильтра Винера

Подставим (2) в (1) получим:

Выразим корреляционную функцию входного процесса через энергетический спектр:

.

Подставив в предыдущие выражение получим:

.

.

Выразим , тогда окончательно получим выражение дисперсии ошибки:

.

Если помеха является белым шумом , то .

- импульсная характеристика при .

Подставляем в выражение дисперсии ошибки , комплексный коэффициент передачи физически не реализуемого фильтра ,получим:

,

отсюда видно, что чем меньше перекрывает спектры (меньше произведение и ),тем меньше дисперсия ошибки.

Пример №1. Определить комплексный коэффициент передачи оптимального физически реализуемого фильтра Винера и дисперсию ошибки в случае полезного сигнала с энергетическим спектром и помехой .

1. Определим энергетический спектр входного процесса:

;

2.Представим .

Так как шум белый, то:

3. Найдем комплексный коэффициент передачи оптимального Фильтра Винера:

,

где

4. Определим дисперсию ошибки :

.

Чем больше , тем больше , и уже полоса фильтров.

Пример №2. Определить комплексный коэффициент передачи оптимального физически реализуемого фильтра Винера и дисперсию ошибки в случае полезного сигнала с энергетическим спектром и помехой .

1. Определим энергетический спектр входного процесса:

;

2.Представим .

3. Выполним операцию

,

выделим целую часть и простые дроби:

то есть

4. Найдем комплексный коэффициент передачи оптимального Фильтра Винера:

,

где

Оптимальный фильтр представляет собой:

5. Найдем дисперсию ошибки :

Дисперсия ошибок равна нулю ,так как мощность полезного сообщения равна бесконечности.

10.3 Синтез оптимального фильтра Колмана-Бьюси

Методика синтеза имеет два принципиальных отличия от фильтра Винера:

1. вместо описания случайного процесса с помощью корреляционной функции или энергетических спектров, будем полагать ,что входное воздействие является выходным процессом некоторого фильтра возбуждаемого белым шумом, то есть описывается стохастическими дифференциальными или разностными уравнениями.

2. вместо нахождения оптимальной импульсной характеристики или комплексного коэффициента передачи будем находить выходной процесс как результат решения уравнения состояния.

10.3.1 Описание сообщения

Выходной процесс определяется:

,

где

.

Из (1) следует, что .

Перейдем в область оригинала:

Установим связь между энергетическим спектром и стохастическим дифференциальным уравнением:

Зная путем замены на можно найти передаточную функцию

.

По известной передаточной функции в соответствии с (1) можно получить стохастическое дифференциальное уравнение.

Пример №1. Определить стохастическое дифференциальное уравнение для случайного процесса с энергетическим спектром .

отсюда дифференциальное уравнение: