9.7.1Критерий устойчивости Найквиста

Если в разомкнутом состоянии система устойчива, то для её устойчивости в замкнутом состоянии необходимо, чтобы при изменении частоты от 0 до годограф не охватывал точку .

Если в разомкнутом состоянии система неустойчива, то для её устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до годограф вектора охватывал точку раз, - число корней в правой плоскости.

Для устойчивости любой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до разность между числом перехода на оси сверху вниз и снизу верх была равна раз.

Тема 10.Синтез оптимальных линейных систем радиоавтоматики (ра)

10.1 Постановка задачи

Основными назначениями РА является слежение за параметрами радиосигнала (направление перехода АСН, временным положением АСД, частотой) условие воздействия помех.

При этом главной задачей проектирования систем является такое ее построение, при котором обеспечивалась бы линейная ошибка слежения.

Впервые задачу синтеза оптимальных систем для стационарных случайных дискретных последовательностей сформировал и решил в 40-х годах А.Н.Колмагоров. Несколько позже Н.Винер решил эту задачу для непрерывных процессов.

В 60-е годы Р. Калман и английский ученый Р. Бьюси решили задачу линейной фильтрации, основанную на применении метода пространства состояния.

Д - дискриминатор

Ф – фильтр

- информационный параметр

-оценка информационного параметра.

В общем случае задачу синтеза оптимальных систем необходимо решать в классе нелинейных систем. При этом возникают существенные математические трудности. Линеаризация дискретно обобщенной структурной схемы будет иметь вид:

Используя, правило структурных преобразований , схему можно привести к виду:

где - помеха приведена по входу системы.

Оптимальной будем называть систему, которая обеспечивает наилучшее выделение параметра из смеси параметров с помехой по критерию минимума среднего квадрата ошибки.

Фильтр Винера обеспечивает наилучшее выделение информационного параметра на фоне помех, для стационарных входных воздействий установившегося режима.

Фильтр Колмана-Бьюси обеспечивает наилучшее выделение информационного параметра на фоне помех в любой момент времени для стационарных и нестационарных процессов.

10.2 Синтез оптимального фильтра Винера

10.2.1 Интегральное уравнение Винера-Хопфа

Пусть входной процесс является стационарным, тогда выходной сигнал фильтра можно найти с помощью интеграла Дюамеля:

Подставим (**) в (*) получим:

где - дисперсия информационного параметра

- взаимно корреляционная функция

- корреляционная функция входного процесса.

Вычислив первую вариацию функционала 1 и прировняв ее к нулю, получим интегральное уравнение Винера-Хопфа:

. (2)

Для установившегося режима устраним верхний придел интегрирования ,тогда уровнем оптимального физически реализуемого фильтра будет иметь вид:

, где .

Уравнение для оптимального нереализуемого фильтра Винера имеет вид:

, где .

Вычислив преобразование Фурье левой и правой части получим:

где - комплексный коэффициент передачи оптимального физически нереализуемого фильтра.

- энергетический спектр взаимной корреляционной функции

- энергетический спектр соответствующей корреляционной функции.

Пусть и некорелированы между собой, тогда

.

Из уравнения (**) получим : .

Фильтр нереализуем, так как его фазо-частотная характеристика равна нулю и не зависит от частоты.

Отсюда следует, что оптимальный фильтр Винера подчеркивает (усиливает) спектральную составляющую информационного параметра и подавляет спектральные составляющие помехи.

Комплексный коэффициент передачи оптимального физически реализуемого фильтра будет определяться:

где - функция нули и полюса, которой лежат в верхней полуплоскости комплексной переменой .

Полюс – функция равна бесконечности, корень – функция равна нулю.

- функция нули и полюса, которой лежат в нижней полуплоскости

- означает, что выражение в скобках необходимо удержать, сохранить целую часть и простые дроби полюса, которых лежат в верхней полуплоскости.

.