9.3 Математический аппарат анализа линейных прерывных систем
9.4.1 Решётчатые функции
Решётчатой будем называть функцию, которая изменяет свои значения лишь дискретные, как правило, равноотстоящие моменты времени, а в промежутках между этими моментами её значение равно нулю.
Смещённая решётчатая функция
Часто используют решётчатые
функции с безразмерным аргументом
:
- простая решётчатая функция,
- смещённая решётчатая функция,
- относительное смещение.
Скорость изменения решётчатой функции измеряется разностью смещений:
- разность 1-ого порядка
,
- разность 2-ого порядка
,
- разность
-ого
порядка
,
.
9.3.2 Дискретное преобразование Лапласа в точках - преобразований
Дискретным преобразованием Лапласа будем называть функциональное преобразование решётчатых функций следующего вида:
Если
,
то переходим к
-
преобразованиям
Пример №1. Найдём
-
преобразование единичной решётчатой
функции
.
,
получим бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию, сумма членов ряда которой
определяется выражением
,
где
- первый член ряда (1)
- знаменатель геометрической
прогрессии (
)
.
Пример №2. Определить
изображение экспоненциальной решётчатой
функции
.
,
.
,
,
.
9.3.3 Основные теоремы - преобразований
1. Теорема линейности оригиналов и изображений
.
2. Теорема сдвига в области оригинала
,
.
3. Теорема смещения в области изображения
.
4. Теорема изображения разности
Пример №1. Найдём изображение
линейно нарастающей решётчатой функции
.
Из выражения
следует, что
5. - преобразование суммы решётчатой функции
.
Пример №2. Найдём оригинал соответствующий выражению
,
- геометрическая прогрессия
с конечным членом ряда,
,
.
6. Теорема свёртки
.
7. Теорема о конечном значении оригинала
.
8. Теорема о конечном значении оригинала
.
9.4Анализ линейных разомкнутых импульсных систем методом - преобразований
9.4.1 Структурная схема разомкнутой импульсной системы и характеристики её элемента
Использование - преобразований или дискретного преобразования Лапласа позволяет существенно упростить анализ импульсных систем, так же как преобразование Лапласа позволяет существенно упростить анализ непрерывных систем.
ИЭ можно представит в виде
где ИИЭ – идеальный импульсный элемент формирует бесконечно короткие импульсы, площадь которых равна значению входного процесса в дискретные моменты времени
ФЭ – формирующий элемент формирует импульсы заданной формы, то есть его передаточная функция тождественно равна изображению формы импульса на выходе
С учётом представления импульсного элемента, структурная схема разомкнутой системы будет иметь следующий вид:
Последовательное соединение
ФЭ и ПЧ назовём передаточной непрерывной
частью с передаточной функцией
.
Найдём характеристики ПНЧ в области безразмерных параметров
,
- не безразмерный параметр,
Введём понятие безразмерного
параметра Лапласа
,
тогда передаточная функция для
безразмерного параметра будет равна:
.
Сравнение уравнений и , показывает, что
