8.2 Методы анализа нелинейных систем при детерминированных воздействиях

1. Метод непосредственной линеаризации.

2. Метод кусочно-линейной аппроксимации.

В этом случае исследование проводят для каждого линейного участка, а полученные решения согласовывают в точках излома.

3. Метод фазовой плоскости.

Этот метод применяется для систем описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями 1-2-ого порядков. На плоскости строим фазовые траектории (портреты) при изменении частот от 0 до . Этот метода используют для оценки устойчивости системы.

4. Метод малого параметра.

Если нелинейности незначительны, то нелинейные члены дифференциального уравнения переносят в правую часть в виде малого параметра .

а) если , то решая ЛОДУ (то есть все члены переносят в правую часть) находят порождённое решение ;

б) будем искать решение в виде - это уравнение называют первым приближением. Подставляя в исходное дифференциальное уравнение, находим ;

в) будем искать в виде , находим .

5. Метод моделирования на ЭВМ.

6. Метод гармонической линеаризации.

8.3 Метод гармонической линеаризации (баланса)

Комплексный коэффициент усиления нелинейного звено. Этот метода предназначен для определения условий возникновения автоколебаний, а так же амплитуды и частоты этих колебание.

Пусть задана нелинейная система

где НЗ – нелинейное звено

ЛЧ – линейная часть

Сущность метода гармонического баланса состоит в допущении о том, что на выходе линейной части системы высшие гармоники фильтруются, подавляются до такой степени, что ими можно пренебречь. Такое допущение называется гипотезой фильтра.

Выходной сигнал будет равен .

Условие выполнимости гипотезы фильтра можно записать в виде:

.

Реальная гипотеза фильтра выполняется, если наклон ЛАЧХ в области высших гармоник равен и .

Выходной сигнал представим в виде ряда Фурье:

,

обычно .

Если гипотеза фильтра выполняется, то выходной сигнал приблизительно равен:

, то есть высшие гармоники подавляются остальными.

Введём понятие комплексного коэффициента усиления нелинейного звена.

Комплексный коэффициент усиления - это отношение комплексной амплитуды первой гармоники выходного сигнала к комплексной амплитуде выходного сигнала. не зависит от частоты. а зависит от амплитуды входного сигнала.

,

где - реальная часть,

- мнимая часть.

Доказано, что выходной сигнал приобретает дополнительный фазовый сдвиг в случае неоднозначных нелинейностей типа гистерезиса, люфт. Для однозначных нелинейностей .

Пример №1. Определить комплексный коэффициент усиления релейного звена с неоднозначной характеристикой и зоной нечувствительности.

При выходной сигнал имеет вид прямоугольных импульсов. В момент срабатывания и момент отпускания :

Найдём реальную часть комплексного коэффициента усиления

.

Исходя из выражения

Найдём мнимую часть комплексного коэффициента усиления

.

Если характеристика однозначна, то

,

.

Если в релейном звене отсутствует зона нечувствительности

,

.