6.2.3 Оптимизация параметров линейных систем при случайных полезном и мешающем воздействиях
В качестве критерия оптимизации
выберем минимум суммарной дисперсии
ошибок
.
1. Определим дисперсию ошибки
где .
2. Определим дисперсию ошибки
,
где
3. Определим суммарную дисперсию ошибок
.
4. Найдём оптимальное значение
параметров
из условия
,
решая эту систему уравнений, получим
.
Пример №1. Определить
оптимальное значение предыдущей системы
для случайного воздействия
с энергетическим спектром
.
1. Найдём дисперсию ошибки
1.1 .
1.2
,
.
2. Определим результирующую ошибку
Отсюда видно, что с увеличением
3. Найдём оптимальное значение параметров
6.3 Определение дисперсии ошибки в переходном режиме при случайных воздействиях
Представим входное воздействие
и выходное воздействие
в следующем виде
,
где
- математическое ожидание входного
воздействия;
- центрированное входное
воздействие (
).
,
где
- математическое ожидание выходного
процесса;
- центрированный выходной
процесс (
).
Так как
и
является детерминированными функциями.
Для нахождения математического ожидания
ошибки полностью применим математический
аппарат анализа при регулярных
воздействиях, рассмотренных ранее.
Поэтому в дальнейшем будем полагать
что
.
Линейные системы описываются
стохастическими уравнениями вида:
.
Решение дифференциального уравнения представим в виде:
,
где
- частное решение ЛНДУ (вынужденное
движение системы);
- общее решение ЛОДУ (свободное
движение системы).
Найдём корреляционную функцию выходного процесса в общем случае не стационарного:
где
- корреляционная функция вынужденного
движения системы;
- корреляционная функция
свободного движения системы;
- взаимно корреляционные
функции
.
Если положить
,
то получим выражение для дисперсии
ошибки
.
При нулевых начальных условиях
,
тогда
.
Пусть задана корреляционная
функция входного процесса
и импульсная характеристика систем
,
тогда корреляционная функция выходного
процесса равна:
.
Если положить , то получим выражение для дисперсии
.
Пусть входное воздействие
является белым шумом
,
,
используя фильтрующиеся свойство
-функции
получим:
.
Пример №1. Найдём дисперсию
ошибки в переходном режиме для систем
с передаточной функцией
при входном воздействии в идее белого
шума.
1. Определим передаточную функцию для воздействия
.
2. Найдём импульсную характеристику по ошибке
.
3. Определим дисперсию ошибки
.
При
6.4 Методы коррекции линейных систем
Коррекция системы необходима для обеспечения запасов устойчивости и заданной точности системы в установившемся и переходном режимах.
Используют 2 типа коррекции:
1. последовательная коррекция, когда корректирующее звено включатся последовательно в контур регулирования (обычно ФНЧ);
2. параллельная коррекция, когда вводятся местные обратные связи.