Приведение к каноническому виду.

Рассмотрим вспомогательную систему уравнений (1.5)

Система (1.5) описывает колебание с постоянной амплитудой, поскольку её характеристическое имеет пару чисто мнимых корней.

Исключая из уравнения (1.5) переменную , получим

(1.6)

Для того, чтобы удовлетворилось условие 1), коэффициент при должен быть равен нулю, т. е. должно быть и, кроме того, должно иметь место неравенство

.

Сделаем замену

, , (1.7)

где ─ арифметическое значение корня .

Таким образом, получим

Как мы видим при помощи замены (1.7) уравнение (1.6) сводится к эквивалентной системе двух уравнений

.

Также

(1.7’)

Поэтому, если в исходной системе (1.1) сделать замену (1.7), то эта система будет приведена к виду (1.8).

(1.8) – система Ляпунова в каноническом виде

где и ─ аналитические функции своих переменных, разложение которых начинается с членов второго порядка малости. Таким образом, вместо системы (1.1) нам достаточно рассмотреть систему (1.8).

Преобразование интеграла h.

Остановимся ещё на выражении интеграла . Согласно положению 2) его представление имеет вид

, (*)

где ─ некоторая постоянная.

Но сначала рассмотрим ситуацию, когда первый интеграл имеет вид:

(1.9)

Так как (1.9) ─ первый интеграл, то вдоль каждой кривой семейства (1.8) он должен обращаться в 0.

Тоесть

.

Подставим и получим

Сравнивая коэффициенты при , и , получим

При y:

При х:

При ху:

При х²:

При у²:

Отсюда = , D=E. Не нарушая общности можно принять .

Итак, интеграл H можно представить в виде

, (1.10)

где ─ аналитическая функция своих переменных, разложение которой начинается с членов не ниже третьего порядка малости, ─ некоторая постоянная, которую всегда мы можем считать положительной для достаточно малых и .

Таким образом, мы видим, что представление первого интеграла всегда имеет вид (*) и, кроме того, его можно представить в виде (1.10)

Периодичность решений системы Ляпунова.

Докажем теперь, что существует периодическое решения системы (1.8) для достаточно малых значений . И что это решение ─ периодические функции . Для этого достаточно доказать, что фазовые траектории в плоскости замкнутые и сохраняет знак. Для этого введём полярные координаты

;

и заметим, что любая замкнутая траектория должна быть периодической функцией аргумента . Составим выражение для :

(1.11)

Здесь ─ аналитическая функция , разложение которой имеет вид

Следовательно, в формуле (1.11) функция может быть представлена в виде ряда

,

причем, все коэффициенты ─ полиномы от и , т. е. периодические функции . Таким образом, выражение (1.11) можно переписать так:

Это равенство мы можем рассматривать как уравнение для определения .

Используя аналитичность функций, которые в него входят, будем функцию разыскивать в виде ряда

, i=1, 2. (1.12)

Прямым вычислением убеждаемся в том, что коэффициенты в разложении (1.12) являются полиномами от и . Так, например,

,

Таким образом, коэффициенты ─ степенные функции коэффициентов , а последние в свою очередь являются полиномами от и . Вследствие такой структуры коэффициентов ряд (1.12) определяет периодическую функцию периода , т. е. при изменении на величина возвращается к своему исходному значению. Если при этом окажется, что сохраняет знак, то это и будет означать, что фазовая траектория замкнутая.

Таким образом, решения системы (1.8) ─ функции и ─ будут периодическими функциями времени.

Функции и являются аналитическими по параметру . В самом деле, в силу аналитичности правых частей системы (1.8) её решения будут аналитическими функциями начальных значений

, .

Постоянная так же определяется этими значениями

. (1.13)

Так как правые части системы (1.8) не зависят от времени, то без ограничений общности начальные условия можно записать в виде

, . (1.14)

Отсюда видно, что решения системы (1.8) представляют собой аналитические функции .