4. Геометрический смысл преобразования Лоренца.

Любая точка в 4-хмерном мире характеризуется четырьмя числами (x,y,z,t).

При описании событий мы используем числовые значения.

Мировая линия – совокупность последовательных событий.

При переходе в другую систему отсчета квадрат расстояния не меняется.

Введем , тогда:

В плоскости xτ преобразование Лоренца соответствует повороту системы координат на псевдо-угол ψ.

Переход от покоящейся к движущейся системе отсчета в 4-хмерном мире соответствует повороту. При повороте не изменяется и расстояние между 2-мя точками (событиями).

Если рассматривать события 1 и 2, то расстояние между ними не изменяется.

Рассмотрим релятивистские эффекты

1) Понятие одновременности событий

В новой системе отсчета события уже не одновременные

2) Эффект сокращения длины

;

3) Эффект замедления времени

;

4) Если скорость относительного движения сонаправлена с осью y, то такому движению будут соответствовать поворот оуτ.

Результат 2-х последовательных переходов – 2 поворота плоскостей. Результат зависит от порядка выполнения перехода.

Преобразование Лоренца некоммутативное. Исключение: составное движение производится вдоль одной оси.

_______________________________________

14. Уравнение электромагнитного поля. Первая пара уравнений Максвелла.

Уравнение электромагнитного поля

– поле соленоида

Поток вектора В через любую замкнутую поверхность равен нулю

6. Четырехмерные векторы, тензоры и скорости.

Все физические величины, законы, формулируются в векторной или тензорной форме. Объяснением этому служит то, что векторная или тензорная форма указывает на тот факт, что величина не привязана к системе координат. Так как пространство 4-мерное, то необходимо пересмотреть все физические законы на 4-мерное представление. Введем понятие 4-мерного вектора:

– четырех-радиус-вектор.

Запишем преобразование Лоренца для 4-вектора.

=( ) – 4-вектор как совокупность 4-ех величин в некоторой системе отсчета, которые при переходе к другой системе отсчета преобразуются так же, как и компоненты 4-ех радиус-вектора.

Основное свойство вектора: инвариантность относительно системы координат сохраняется для 4-вектора. Но его проекция на оси является инвариантной величиной. Соотношения между векторами также инвариантны, так как все вектора преобразуются по одинаковой схеме. Вектор - это тензор первого ранга, скаляр - это тензор нулевого ранга (величина, неизменная при любых преобразованиях координат).

Скалярное произведение 2-ух 4-векторов инвариантно:

- запись Эйнштейна

- преобразование для радиус-вектора

4-ех тензор второго ранга ( ) - совокупность 16 компонент, образующихся как произведение компонент векторов;

Единичный 4-ех тензор: A

(1) - тензор второго ранга,

(2) - 4-ех тензор третьего ранга,

(3) - 4-ех тензор четвертого ранга.

Свертка: – 4-ех тензор третьего ранга

1. grad

скалярная функция 4-ой точки пространства

2. div

f - скалярная (инвариантная) величина

- 4-ех мерная дивергенция

3. rot

4. Оператор Лапласа

- скалярная функция

) = – оператор Даламбера

Все вышеописанные операции являются тензорными и, следовательно, инвариантными. Таким образом, результат этих операций будет для всех одинаковым.

Пример 4-ех мерной скорости:

т.к. скорость в 4-ех мерном пространстве определить нельзя, так как время не является тензорной величиной в этом случае;

, - собственное время

Выразим компоненты 4-ех скорости через 3-ех мерный вектор скорости:

,

; ; ; ) = ;

Свойства 4-ех вектора скорости.

Возьмем модуль:

, вектор 4-ех скорости меняется только за счет направления, а его величина остается постоянной.

Определим 4-ех ускорение: , так как длина вектора скорости не изменяется, то 4-ех ускорение всегда ортогонально 4-ех скорости → скалярное произведение скорости на ускорение равно 0.

/ : d

_______________________________________