Глава IV. Линейные дифференциальные уравнения и системы § 1. Общие замечания. Однородные и неоднородные уравнения и системы

Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида

(1)

где непрерывные на некотором отрезке функции.

Системой линейных дифференциальных уравнений первого порядка называется система

(2)

где непрерывные на отрезке функции. Система (2) может быть записана в матричной форме:

(3)

где матрицы и составлены из функций а искомая вектор-функция.

Введём в рассмотрение оператор дифференцирования Применение этого оператора к функции будет обозначать её дифференцирование, т.е. Произведение операторов – это оператор, действие которого заключается в последовательном применении этих операторов к функциям. Следовательно, и т.д. Оператор является линейным в том смысле, что и

Если положить то уравнение (1) запишется короче:

(4)

Это уравнение называется линейным неоднородным, а уравнение

(5)

линейным однородным. Аналогично этому система (3) – неоднородная, а система

(6)

однородная. Заметим, что сумма двух решений однородного уравнения (или однородной системы) и вообще любая линейная комбинация решений также являются решениями уравнения (системы): действительно, если

и то

Для систем доказательство аналогичное.

Если какое-либо решение неоднородной системы (3), а решение однородной системы (6), то мы имеем и Складывая эти два равенства, мы получим следовательно, является решением неоднородной системы. Итак, сумма решения однородной системы с решением неоднородной является решением неоднородной. Пусть теперь решения неоднородной системы. Тогда

т.е. решение однородной системы. Так как то мы получим, что всякое решение неоднородной системы получается из другого решения этой системы прибавлением к нему подходящего решения однородной системы. Какое-либо фиксированное решение однородной системы назовём частным решением. Только что проведённые рассуждения приводят к следующей теореме:

Теорема 1. Всякое решение неоднородной системы получается из какого-либо частного решения этой системы прибавлением к нему подходящего решения однородной системы

Эту теорему можно записать символически следующим образом:

Таким образом, чтобы найти все решения неоднородной системы, достаточно найти какое-либо её решение (частное) и прибавить к нему все решения однородной системы.

Аналогичная теорема имеет место для линейных уравнений -го порядка. А именно:

Теорема 2. Всякое решение неоднородного уравнения является суммой какого-либо (частного) решения этого уравнения и подходящего решения однородного уравнения

Символическая запись этой теоремы имеет следующий вид:

§ 2. Фундаментальная система решений однородной системы и однородного уравнения

Пусть дана однородная система где матрица, состоящая из непрерывных на отрезке функций Фундаментальной системой решений этой системы называется совокупность вектор-функций определённых на отрезке и обладающих следующими свойствами: 1) линейно независимы; 2) всякое решение линейно выражается через т.е. представимо в виде где постоянные.

Не случайно количество функций, входящих в фундаментальную систему решений, совпадает с количеством уравнений. Мы докажем, что система линейных уравнений первого порядка имеет фундаментальную систему решений, состоящую из функций.

Теорема 1. Пусть дана система где матрица размера состоящая из функций непрерывных на отрезке Тогда существует фундаментальная система решений данной системы.

Доказательство. Возьмём какие-нибудь линейно независимых постоянных векторов пространства например, Пусть точка отрезка По теореме существования и единственности решения системы можно найти такие вектор-функцию удовлетворяющих системе и начальному условию Докажем, что и есть фундаментальная система решений.

Вначале докажем, что функции линейно независимы. Действительно, пусть для некоторых Подставив в это тождество получим:

т.е.

Так как векторы линейно независимы, то что и требовалось доказать.

Теперь докажем, что любое решение системы является линейной комбинацией вектор-функций Пусть любое решение системы. Тогда вектор из Так как базис пространства то для некоторых Положим Так как система дифференциальных уравнений – линейная однородная и функции её решения, то функция как их линейная комбинация, также является решением. Кроме того,

Таким образом, и В виду единственности решения Следовательно,

Рассмотрим теперь линейное уравнение п-го порядка

(7)

где функции, непрерывные на отрезке Фундаментальной системой решений уравнения (7) называется совокупность непрерывных на отрезке функций удовлетворяющих условиям:

1) линейно независимые решения этого уравнения;

2) любое решение уравнения линейно выражается через функции т.е. представляется в виде где постоянные числа.

Теорема 2. Всякое линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка имеет фундаментальную систему решений, состоящую из -линейно независимых функций решений этого уравнения.

Доказательство. Выведем эту теорему из теоремы 1, сведя уравнение -го порядка к системе. Очевидно, уравнение (7) равносильно системе дифференциальных уравнений первого порядка

(8)

при этом По теореме 1 существует фундаментальная система решений системы (8). Из вида системы (8) следует, что вектор-функции имеют вид Проверим, что и есть фундаментальная система решений уравнения (7). Действительно, если

то, дифференцируя это равенство, будем получать

откуда следует равенство Так как линейно независимы, то Если теперь любое решение уравнения (7), то решение системы (8). Следовательно, для некоторых а значит,

Замечание. Результаты этого параграфа показывают, что все решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений первого порядка, а также все решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка образуют линейное пространство над полем действительных чисел. Фундаментальная система решений – базис этого пространства.