Решение дифференциального неравенства .
Рассмотрим задачу (2.1)-(2.7).
Теорема 3.
Если
на Г, то
на Г.
Доказательство.
Возможны 3 случая:
1)
;
2)
;
3)
.
Рассмотрим 1-ый случай:
Если
,
и функция
убывает на
.
Так как
,
то
,
.
Пусть
,
.
Функция
убывает, возможны 3 случая: 1.1
;
1.2
;
1.3
.
Рассмотрим
случай 1.1:
Если
убывает и положительна на
,
то
на
.
Тогда, учитывая условие (2.1):
,
возрастает от
точки
до
и, имеем
на
.
Из условия
непрерывности (2.3) имеем:
и условия баланса
(2.5) имеем:
,
следовательно, функция
возрастает от
точки
до
.
Тогда
на
.
Из условия
непрерывности (2.4) имеем:
и условия баланса
(2.6) имеем:
,
следовательно,
функция
возрастает от
точки
до
.
Тогда
на
,
что противоречит условию (2.2):
.
Рассмотрим случай
1.2: Функция
убывает и
из этого следует, что
на
.
Тогда, учитывая условие (2.1):
,
убывает от точки
до
и,
имеем:
на
.
Из условия
непрерывности (2.3) имеем:
и условия баланса
(2.5) имеем:
,
следовательно, функция
убывает от точки
до
.
Тогда
на
.
Из условия
непрерывности (2.4) имеем:
и условия баланса
(2.6) имеем:
,
следовательно,
функция
убывает от точки
до
.
Тогда
на
.
Что противоречит условию (2.2):
.
Рассмотрим случай
1.3: Функция
убывает и
,
.
Так как
,
то функция
возрастает от
точки
до
.
Так как
функция
убывает от точки
до
,
и по условию (2.1):
.
Из условий (2.5),(2.6) имеем:
,
из условия
непрерывности
и так как
,
то функция
убывает от точки
до
и
на
.
Из условия непрерывности
и так как функция
убывает от точки
до
,
и по условию (2.2):
,
следует, что
внутри
и
.
Следовательно функция
на Г, и
на
.
Рассмотрим 2-ой случай:
Пусть теперь
.
Если
,
и функция
убывает на
.
Так как
,
то
,
.
Пусть
,
.
Функция
убывает, возможны 3 случая: 2.1
;
2.2
;
2.3
и
.
Рассмотрим случай 2.1: Если убывает и положительна на , то на . Тогда, из условий баланса имеем:
и
.
Так как
на
и
,
то
на
.
Тогда
возрастает от
точки
до
,
и по условию (2.1):
,
следует, что
на
.
Из условия непрерывности
.
Так как
на
и
,
то
на
.
Тогда функция
возрастает от
точки
до
,
из условия
непрерывности:
,
следует, что
на
,
что
,
противоречит условию (2.2).
Рассмотрим случай
2.2: Если
функция
убывает и
на
,
то
на
.
Тогда, из условий баланса имеем:
и
.
Так как
на
и
,
то
на
.
Тогда
убывает от точки
до
,
и по условию (2.1):
,
следует, что
на
.
Из условия непрерывности
.
Так как
на
и
,
то
на
.
Тогда функция
убывает от точки
до
,
из условия
непрерывности:
,
следует, что
на
,
что
,
противоречит условию (2.2).
Рассмотрим случай
2.3: Если
функция
убывает и
и
.
Так как
,
то
возрастает от
точки
до
.
Так как
,
то
убывает от точки
до
.
Тогда, из условий баланса имеем:
и . Так как на и , то на . Тогда возрастает от точки до , и по условию (2.1): , следует, что на . Из условия непрерывности .
Так как на и , то на . Тогда функция убывает от точки до , из условия непрерывности: , следует, что на . Следовательно функция на Г, и на .
Рассмотрим 3-ий случай:
Заметим, что если поменять направление на каждом из , , на противоположное, то рассуждения случая 3 будут аналогичными рассуждениям при доказательстве случая 1.
Следствие: Если на Г, то внутри Г и на .
ЛИТЕРАТУРА
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление Серия: «Курс высшей математики и математической физики» -3выпуск/Главная редакция физико-математической литературы. М.: Наука,1969.-424с.
2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Физматлит, 1961.
3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений/ Под ред. И.Е. Морозова – М. :Наука, 1964.- 272с.
4. Покорный Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах/Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев, А.В. Боровских. К.П. Лазарев, С.А. Шабров М. : Физматлит, 2004.- 272с.