3. Невырожденность.
Рассмотрим неоднородную задачу (2.1) – (2.7).
По левым частям
равенств (2.1) – (2.6) построим функционалы
,
По левой части равенства (2.7) построим дифференциальный оператор:
Тогда неоднородная задача (2.1) – (2.7) сводится к задаче:
,
.
(3.1)
А однородная задача (2.1) – (2.7’) к задаче:
,
.
(3.2)
Теорема 2. (Условие невырождености).
Задача (3.1) для имеет только тривиальное реше- ние.
Доказательство.
Так как
на
,
,
то
,
В частности на
имеем
Возможны 3
случая:
,
,
.
Если
Из
следует, что функция
возрастает от
точки
до
,
и так как
,
то
на
.
Тогда
.
Из условия
непрерывности (2.3) имеем:
.
Из условия (2.5) получим,
=
,
что равносильно равенству:
Из
следует, что функция
возрастает от
точки
до
,
и так как
,
то
на
.
Тогда,
,
что из условия непрерывности (4) имеем:
.
Из условия (2.6) получим:
=
,
что равносильно равенству:
.
Из
следует, что функция
возрастает от
точки
до
,
и так как
,
то
на
.
Тогда,
,
что противоречит (2.2). Следовательно
случай
невозможен.
Аналогично, при так же придем к противоречию (2.2)
Если .
Из
следует, что функция
,
и так как
,
то
на
.
Следовательно,
.
Из условия непрерывности (2.3) и условия (2.5), имеем:
=
.
Тогда
,
и
,а
это означает, что
на
.
Следовательно,
,
что по условию непрерывности (2.4) означает:
.
Из равенства (2.6) имеем,
=
.
Тогда
,
и
,а
это означает, что
на
.
Итак, из трех рассмотренных случаев возможен только один:
,
при котором
на
,
.
Итак,
на Г.
Построение функции Грина задачи.
Если задача (2.1) – (2.7) невырождена (т.е. имеет единственное решение) на Г, то ее решение для функции , и любой может быть представлено в виде:
.
(4.1)
Определение.
Функцией Грина
на отрезке называют функцию двух
переменных
и
,
при каждом фиксированном
из отрезка, обладающую свойствами:
1. при
удовлетворяет по
однородному дифференциальному уравнению;
2. при удовлетворяет по краевым условиям;
3. при
непрерывна по
,
т.е.
,
(для уравнения
порядка
)
4. при имеет скачек, т.е.
,
(где
- коэффициент при старшей производной
дифференциального уравнения порядка
).
Функцию Грина
задачи (2.1) - (2.7) на графе
можно построить по формуле:
(4.2)
где
- фундаментальная система решений
однородного уравнения
.
(4.3)
Положим в задаче
(2.1) - (2.7)
.
Функцию
можно построить по функциям Грина
двухточечных задач (задач на отрезках)
на
:
(4.4)
где
-
функция Грина двухточечной краевой
задачи на отрезке
:
на
,
,
(4.5)
,
,
(
)
Согласно определению
функции Грина на отрезке, она должна
удовлетворять однородному уравнению,
поэтому найдем фундаментальную систему
решений однородного уравнения
:
,
.
По левым частям
краевых условий (2.16) построим функционалы:
,
.
Так как функция Грина должна удовлетворять краевым условиям, то
,
,
.
(4.6)
Функцию Грина задачи (4.5) будем искать в виде:
,
где по равенствам
(4.6) можно найти
,
функция
- какое-либо решение неоднородного
уравнения задачи (4.5), которое может быть
найдено, например, с помощью функции
Коши:
.
Итак
,
.
Построим
на
:
Аналогично
строим
и
:
,
Построим
по формуле (4.3):
,
Тогда функция Грина задачи (2.1) - (2.7) определяемая по формуле (4.2), имеет вид:
,
где
,
H(x,s) определяется по формуле (4.4).