Методи Рунге-Кутта

Від метода Ейлера вони відрізняються порядком точності, а також тим, що в методі Ейлера не допускається обмеження правих частин не тільки в точках сітки, а і в деяких проміжних точках. Розглядається задача (1)-(2)

Нехай є шуканий розвязок задачі (1)-(2). Розкладемо в ряд Тейлора в околі точки

Взявши

Із (4):

Формула (4’) визначає розвязок в точці . де може бути визначене з рівняння (1) при

Обчислення коефіцієнта (4) представляє собою великий об’єм обчислень. Тоді Рунге запропонував обчислювати замість коефіцієнта суму

.

Тодірозвязок буде представлений і тоді з формули (5) шукатимемо наступне наближення . Будемо вважати що коефіцієнт будуть вибиратися від досягнення потрібної точності.

Сума коефіцієнтів .

!Зауважимо, що метод Рунга-Кута не використовується при

При - одержимо простий метод Ейлера

При

(

Розглянемо рівняння яке задовольняє похибка методу Ейлера

Праву частину рівняння (8) можна представити у вигляді суми двох доданків

Де функція називається нев`язковою або похибкою апроксимації рівняння (6) на розвязку задачі (1), (2). Нев’язка являє собою результат підставки точного розв’язку у різницеве рівняння

Якщо співпадатиме з точним розв’язком то нев’язка = 0. Тоді будемо говорити, що різницевий метод апроксимує початкове диференціальне рівняння (1). Якщо і різницевий метод буде мати тий порядок точності якщо .

Розглянемо різницевий метод (7) і підставимо коефіцієнти

Тоді за означенням похибки апроксимації або нев’язкою методу (7) будем називати функцію

Вираз (11) одержується заміною у (10) наближеного розв’язку точним розв’язком. Знайдемо порядок апроксимації із припущення що функція є достатньо гладкою. Для цього розкладемо праві доданки в (11) в околі точки в ряд Тейлора.

Розпишемо . Ці всі вирази підставимо у нев’язку

.

.

Формула (12) представляє собою нев’язку методу (7) і при метод буде мати перший порядок апроксимації, якщо ж додатково вимагати, що то ми одержимо метод другого порядку точності. Тим самим ми одержимо сім’ю методів Рунге-Кутта другого порядку і ці методи можуть бути записані у вигляді

1)

- метод Рунга-Кута 2-го порядку

Метод Рунга-Кута 3-го порядку

1. 

Приклад

Метод Рунга-Кута 4-го порядку

Методи розв’язання лінійних рівнянь та їх систем

Нехай задана функція яка може бути як трансцендентною функцією так і многочленом n –го степеня і потрібно розв’язати рівняння (1), тобто знайти корені.

Розв’язання рівняння (1) відбувається в два етапи:

1. Вивчається розміщення коренів рівняння, а також відбувається відокремлення коренів рівняння. Під відокремленням ми будемо розуміти такий проміжок невеликої довжини на якому міститься тільки один корінь.

2. На другому етапі уточнюється корінь В уточненні коренів використовується деяке початкове наближення для того щоб уточнити його з деякою точністю за допомогою загального многочлена.

Відокремлення степенів можна проводити двома способами:

1. Графічний, треба побудувати графік функції

() – наближені значення коренів

2. Аналітичний спосіб за допомогою знака функції в критичній точці.

Якщо функція є неперервною на [a,b] то для відокремлення коренів можна користуватися наступними твердженнями.

Твердження 1.

Якщо є аналітичною на [a,b] і на кінцях свого проміжку [a,b] функція приймає різні знаки то функція містить непарну кількість коренів , якщо однакові – то парна кількість коренів або ж рівняння на заданому проміжку немає зовсім коренів.

Твердження 1.

Якщо функція на кінцях деякого проміжку є непарна і на кінцях свого проміжку приймає значення різних знаків, а також то між a і b міститься існує лише один єдиний корінь

Для того щоб знайти всі параметри на яких міститься один корінь ми виберемо розбиття і будемо перевіряти умови

У випадку якщо функція є алгебраїчний многочлен n-го степеня ми можемо знайти множину всіх коренів, а також методи для знаходження проміжків на якому міститься по одному кореню.

Представимо функцію у вигляді

Тоді можемо записати Формула Маклорена для знаходження верхньої межі коренів.

Нехай , якщо не існує відємних коефіцієнтів то і рівняння не має додатніх коренів

Теорема

Всі корені рівняння (2) будуть міститися на проміжку ,

Доведення

Розглянемо випадок коли Тоді

Розглянемо випадок коли

тоді функція буде більше за нуль у випадку коли

тоді тоді права частина останньої нерівності являє собою верхню межу коренів

тоді який задавільняє (4) функція , а це означає що всі коефіцієнти рівняння (2) лежать у межах нерівності (3).

Приклад

Якщо є верхня межа коренів рівняння , а є верхня межа коренів рівняння тоді всі корні рівняння (1) містяться в межах

Корені :

Зауважимо що ця оцінка є достатньо грубою, так як коренями цього рівняння є